Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45098 / 28822
↖ ↑ ↗
← N 21.176729°
E 67.730713°		 ← 569.60 m → N 21.176729°
E 67.736206°		 →
↑
569.57 m
↓
↑
569.57 m
↓
N 21.171606°
E 67.730713°		 ← 569.62 m →
324 432 m²		 N 21.171606°
E 67.736206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688148498535156 y=0.439796447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688148498535156 × 216)
    floor (0.688148498535156 × 65536)
    floor (45098.5)     		tx = 45098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439796447753906 × 216)
    floor (0.439796447753906 × 65536)
    floor (28822.5)     		ty = 28822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45098 / 28822 ti = "16/45098/28822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45098/28822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45098 ÷ 216
    45098 ÷ 65536     		x = 0.688140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28822 ÷ 216
    28822 ÷ 65536     		y = 0.439788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688140869140625 × 2 - 1) × π
    0.37628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18212394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439788818359375 × 2 - 1) × π
    0.12042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.378318011801483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18212394} λ = 1.18212394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378318011801483))-π/2
    2×atan(1.45982711131589)-π/2
    2×0.970199983185569-π/2
    1.94039996637114-1.57079632675     		φ = 0.36960364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18212394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.730713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36960364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.176729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45098 KachelY 28822 1.18212394 0.36960364 67.730713 21.176729
    Oben rechts KachelX + 1 45099 KachelY 28822 1.18221982 0.36960364 67.736206 21.176729
    Unten links KachelX 45098 KachelY + 1 28823 1.18212394 0.36951424 67.730713 21.171606
    Unten rechts KachelX + 1 45099 KachelY + 1 28823 1.18221982 0.36951424 67.736206 21.171606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36960364-0.36951424) × R
    8.94000000000172e-05 × 6371000     		dl = 569.56740000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36960364-0.36951424) × R
    8.94000000000172e-05 × 6371000     		dr = 569.56740000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18212394-1.18221982) × cos(0.36960364) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932470602260001 × 6371000     		do = 569.601047446639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18212394-1.18221982) × cos(0.36951424) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.932502893914085 × 6371000     		du = 569.620772851328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36960364)-sin(0.36951424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932470602260001-0.932502893914085)×R²
    abs(1.18221982-1.18212394)×3.22916540841378e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22916540841378e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22916540841378e-05×40589641000000     		ar = 324431.805321296m²