Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45091 / 28825
↖ ↑ ↗
← N 21.161361°
E 67.692261°		 ← 569.60 m → N 21.161361°
E 67.697754°		 →
↑
569.63 m
↓
↑
569.63 m
↓
N 21.156239°
E 67.692261°		 ← 569.62 m →
324 468 m²		 N 21.156239°
E 67.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688041687011719 y=0.439842224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688041687011719 × 216)
    floor (0.688041687011719 × 65536)
    floor (45091.5)     		tx = 45091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439842224121094 × 216)
    floor (0.439842224121094 × 65536)
    floor (28825.5)     		ty = 28825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45091 / 28825 ti = "16/45091/28825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45091/28825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45091 ÷ 216
    45091 ÷ 65536     		x = 0.688034057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28825 ÷ 216
    28825 ÷ 65536     		y = 0.439834594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688034057617188 × 2 - 1) × π
    0.376068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18145283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439834594726562 × 2 - 1) × π
    0.120330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.378030390403763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18145283} λ = 1.18145283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378030390403763))-π/2
    2×atan(1.45940729417879)-π/2
    2×0.970065876971344-π/2
    1.94013175394269-1.57079632675     		φ = 0.36933543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18145283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.692261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36933543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.161361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45091 KachelY 28825 1.18145283 0.36933543 67.692261 21.161361
    Oben rechts KachelX + 1 45092 KachelY 28825 1.18154870 0.36933543 67.697754 21.161361
    Unten links KachelX 45091 KachelY + 1 28826 1.18145283 0.36924602 67.692261 21.156239
    Unten rechts KachelX + 1 45092 KachelY + 1 28826 1.18154870 0.36924602 67.697754 21.156239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36933543-0.36924602) × R
    8.9410000000012e-05 × 6371000     		dl = 569.631110000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36933543-0.36924602) × R
    8.9410000000012e-05 × 6371000     		dr = 569.631110000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18145283-1.18154870) × cos(0.36933543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932567458473256 × 6371000     		do = 569.600798335435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18145283-1.18154870) × cos(0.36924602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93259973137616 × 6371000     		du = 569.620510229831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36933543)-sin(0.36924602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932567458473256-0.93259973137616)×R²
    abs(1.18154870-1.18145283)×3.22729029036406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22729029036406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22729029036406e-05×40589641000000     		ar = 324467.949483091m²