Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45085 / 28829
↖ ↑ ↗
← N 21.140869°
E 67.659302°		 ← 569.68 m → N 21.140869°
E 67.664795°		 →
↑
569.76 m
↓
↑
569.76 m
↓
N 21.135745°
E 67.659302°		 ← 569.70 m →
324 585 m²		 N 21.135745°
E 67.664795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687950134277344 y=0.439903259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687950134277344 × 216)
    floor (0.687950134277344 × 65536)
    floor (45085.5)     		tx = 45085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439903259277344 × 216)
    floor (0.439903259277344 × 65536)
    floor (28829.5)     		ty = 28829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45085 / 28829 ti = "16/45085/28829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45085/28829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45085 ÷ 216
    45085 ÷ 65536     		x = 0.687942504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28829 ÷ 216
    28829 ÷ 65536     		y = 0.439895629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687942504882812 × 2 - 1) × π
    0.375885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18087759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439895629882812 × 2 - 1) × π
    0.120208740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.377646895206802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18087759} λ = 1.18087759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377646895206802))-π/2
    2×atan(1.45884772579382)-π/2
    2×0.96988704702604-π/2
    1.93977409405208-1.57079632675     		φ = 0.36897777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18087759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.659302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36897777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.140869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45085 KachelY 28829 1.18087759 0.36897777 67.659302 21.140869
    Oben rechts KachelX + 1 45086 KachelY 28829 1.18097346 0.36897777 67.664795 21.140869
    Unten links KachelX 45085 KachelY + 1 28830 1.18087759 0.36888834 67.659302 21.135745
    Unten rechts KachelX + 1 45086 KachelY + 1 28830 1.18097346 0.36888834 67.664795 21.135745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36897777-0.36888834) × R
    8.94300000000015e-05 × 6371000     		dl = 569.758530000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36897777-0.36888834) × R
    8.94300000000015e-05 × 6371000     		dr = 569.758530000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18087759-1.18097346) × cos(0.36897777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932696512565041 × 6371000     		do = 569.679622996366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18087759-1.18097346) × cos(0.36888834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.932728762854943 × 6371000     		du = 569.699321079017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36897777)-sin(0.36888834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932696512565041-0.932728762854943)×R²
    abs(1.18097346-1.18087759)×3.22502899027244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22502899027244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22502899027244e-05×40589641000000     		ar = 324585.436360985m²