Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45050 / 29065
↖ ↑ ↗
← N 19.926877°
E 67.467041°		 ← 574.28 m → N 19.926877°
E 67.472534°		 →
↑
574.28 m
↓
↑
574.28 m
↓
N 19.921713°
E 67.467041°		 ← 574.30 m →
329 803 m²		 N 19.921713°
E 67.472534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687416076660156 y=0.443504333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687416076660156 × 216)
    floor (0.687416076660156 × 65536)
    floor (45050.5)     		tx = 45050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443504333496094 × 216)
    floor (0.443504333496094 × 65536)
    floor (29065.5)     		ty = 29065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45050 / 29065 ti = "16/45050/29065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45050/29065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45050 ÷ 216
    45050 ÷ 65536     		x = 0.687408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29065 ÷ 216
    29065 ÷ 65536     		y = 0.443496704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687408447265625 × 2 - 1) × π
    0.37481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17752200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443496704101562 × 2 - 1) × π
    0.113006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.355020678586136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17752200} λ = 1.17752200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355020678586136))-π/2
    2×atan(1.42621014598591)-π/2
    2×0.959292971008127-π/2
    1.91858594201625-1.57079632675     		φ = 0.34778962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17752200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.467041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34778962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.926877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45050 KachelY 29065 1.17752200 0.34778962 67.467041 19.926877
    Oben rechts KachelX + 1 45051 KachelY 29065 1.17761788 0.34778962 67.472534 19.926877
    Unten links KachelX 45050 KachelY + 1 29066 1.17752200 0.34769948 67.467041 19.921713
    Unten rechts KachelX + 1 45051 KachelY + 1 29066 1.17761788 0.34769948 67.472534 19.921713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34778962-0.34769948) × R
    9.01400000000163e-05 × 6371000     		dl = 574.281940000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34778962-0.34769948) × R
    9.01400000000163e-05 × 6371000     		dr = 574.281940000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17752200-1.17761788) × cos(0.34778962) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940128351902687 × 6371000     		do = 574.278795149341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17752200-1.17761788) × cos(0.34769948) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940159069652229 × 6371000     		du = 574.297559132111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34778962)-sin(0.34769948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940128351902687-0.940159069652229)×R²
    abs(1.17761788-1.17752200)×3.07177495424416e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07177495424416e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07177495424416e-05×40589641000000     		ar = 329803.328710766m²