Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45049 / 29064
↖ ↑ ↗
← N 19.932041°
E 67.461548°		 ← 574.20 m → N 19.932041°
E 67.467041°		 →
↑
574.22 m
↓
↑
574.22 m
↓
N 19.926877°
E 67.461548°		 ← 574.22 m →
329 722 m²		 N 19.926877°
E 67.467041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687400817871094 y=0.443489074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687400817871094 × 216)
    floor (0.687400817871094 × 65536)
    floor (45049.5)     		tx = 45049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443489074707031 × 216)
    floor (0.443489074707031 × 65536)
    floor (29064.5)     		ty = 29064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45049 / 29064 ti = "16/45049/29064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45049/29064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45049 ÷ 216
    45049 ÷ 65536     		x = 0.687393188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29064 ÷ 216
    29064 ÷ 65536     		y = 0.4434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687393188476562 × 2 - 1) × π
    0.374786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17742613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4434814453125 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.355116552385376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17742613} λ = 1.17742613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355116552385376))-π/2
    2×atan(1.42634688872604)-π/2
    2×0.959338037110291-π/2
    1.91867607422058-1.57079632675     		φ = 0.34787975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17742613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.461548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34787975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.932041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45049 KachelY 29064 1.17742613 0.34787975 67.461548 19.932041
    Oben rechts KachelX + 1 45050 KachelY 29064 1.17752200 0.34787975 67.467041 19.932041
    Unten links KachelX 45049 KachelY + 1 29065 1.17742613 0.34778962 67.461548 19.926877
    Unten rechts KachelX + 1 45050 KachelY + 1 29065 1.17752200 0.34778962 67.467041 19.926877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34787975-0.34778962) × R
    9.01299999999661e-05 × 6371000     		dl = 574.218229999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34787975-0.34778962) × R
    9.01299999999661e-05 × 6371000     		dr = 574.218229999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17742613-1.17752200) × cos(0.34787975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940097629923449 × 6371000     		do = 574.200134963216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17742613-1.17752200) × cos(0.34778962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940128351902687 × 6371000     		du = 574.218899572405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34787975)-sin(0.34778962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940097629923449-0.940128351902687)×R²
    abs(1.17752200-1.17742613)×3.07219792382574e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07219792382574e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07219792382574e-05×40589641000000     		ar = 329721.572877708m²