Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45007 / 29007
↖ ↑ ↗
← N 20.226120°
E 67.230835°		 ← 573.12 m → N 20.226120°
E 67.236328°		 →
↑
573.14 m
↓
↑
573.14 m
↓
N 20.220966°
E 67.230835°		 ← 573.14 m →
328 483 m²		 N 20.220966°
E 67.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686759948730469 y=0.442619323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686759948730469 × 216)
    floor (0.686759948730469 × 65536)
    floor (45007.5)     		tx = 45007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442619323730469 × 216)
    floor (0.442619323730469 × 65536)
    floor (29007.5)     		ty = 29007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45007 / 29007 ti = "16/45007/29007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45007/29007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45007 ÷ 216
    45007 ÷ 65536     		x = 0.686752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29007 ÷ 216
    29007 ÷ 65536     		y = 0.442611694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686752319335938 × 2 - 1) × π
    0.373504638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17339943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442611694335938 × 2 - 1) × π
    0.114776611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.360581358942062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17339943} λ = 1.17339943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360581358942062))-π/2
    2×atan(1.43416293569642)-π/2
    2×0.961904360426015-π/2
    1.92380872085203-1.57079632675     		φ = 0.35301239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17339943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.230835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35301239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.226120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45007 KachelY 29007 1.17339943 0.35301239 67.230835 20.226120
    Oben rechts KachelX + 1 45008 KachelY 29007 1.17349530 0.35301239 67.236328 20.226120
    Unten links KachelX 45007 KachelY + 1 29008 1.17339943 0.35292243 67.230835 20.220966
    Unten rechts KachelX + 1 45008 KachelY + 1 29008 1.17349530 0.35292243 67.236328 20.220966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35301239-0.35292243) × R
    8.996e-05 × 6371000     		dl = 573.13516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35301239-0.35292243) × R
    8.996e-05 × 6371000     		dr = 573.13516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17339943-1.17349530) × cos(0.35301239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938335510320844 × 6371000     		do = 573.123853860668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17339943-1.17349530) × cos(0.35292243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93836660803527 × 6371000     		du = 573.142847964314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35301239)-sin(0.35292243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938335510320844-0.93836660803527)×R²
    abs(1.17349530-1.17339943)×3.10977144261093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10977144261093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10977144261093e-05×40589641000000     		ar = 328482.874998055m²