Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45003 / 29068
↖ ↑ ↗
← N 19.911383°
E 67.208862°		 ← 574.34 m → N 19.911383°
E 67.214356°		 →
↑
574.28 m
↓
↑
574.28 m
↓
N 19.906219°
E 67.208862°		 ← 574.35 m →
329 836 m²		 N 19.906219°
E 67.214356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686698913574219 y=0.443550109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686698913574219 × 216)
    floor (0.686698913574219 × 65536)
    floor (45003.5)     		tx = 45003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443550109863281 × 216)
    floor (0.443550109863281 × 65536)
    floor (29068.5)     		ty = 29068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45003 / 29068 ti = "16/45003/29068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45003/29068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45003 ÷ 216
    45003 ÷ 65536     		x = 0.686691284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29068 ÷ 216
    29068 ÷ 65536     		y = 0.44354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686691284179688 × 2 - 1) × π
    0.373382568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17301593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44354248046875 × 2 - 1) × π
    0.1129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.354733057188416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17301593} λ = 1.17301593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354733057188416))-π/2
    2×atan(1.425799996417)-π/2
    2×0.959157763867349-π/2
    1.9183155277347-1.57079632675     		φ = 0.34751920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17301593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.208862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34751920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.911383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45003 KachelY 29068 1.17301593 0.34751920 67.208862 19.911383
    Oben rechts KachelX + 1 45004 KachelY 29068 1.17311181 0.34751920 67.214356 19.911383
    Unten links KachelX 45003 KachelY + 1 29069 1.17301593 0.34742906 67.208862 19.906219
    Unten rechts KachelX + 1 45004 KachelY + 1 29069 1.17311181 0.34742906 67.214356 19.906219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34751920-0.34742906) × R
    9.01399999999608e-05 × 6371000     		dl = 574.28193999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34751920-0.34742906) × R
    9.01399999999608e-05 × 6371000     		dr = 574.28193999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17301593-1.17311181) × cos(0.34751920) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940220482234068 × 6371000     		do = 574.335073098617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17301593-1.17311181) × cos(0.34742906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940251177065865 × 6371000     		du = 574.353823082049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34751920)-sin(0.34742906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940220482234068-0.940251177065865)×R²
    abs(1.17311181-1.17301593)×3.06948317970734e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.06948317970734e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.06948317970734e-05×40589641000000     		ar = 329835.644100567m²