Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 450 / 700
↖ ↑ ↗
← S 54.977613°
W 21.796875°		 ← 22.435 km → S 54.977613°
W 21.445312°		 →
↑
22.378 km
↓
↑
22.378 km
↓
S 55.178868°
W 21.796875°		 ← 22.322 km →
500.796 km²		 S 55.178868°
W 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43994140625 y=0.68408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43994140625 × 210)
    floor (0.43994140625 × 1024)
    floor (450.5)     		tx = 450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68408203125 × 210)
    floor (0.68408203125 × 1024)
    floor (700.5)     		ty = 700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 450 / 700 ti = "10/450/700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/450/700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 450 ÷ 210
    450 ÷ 1024     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 700 ÷ 210
    700 ÷ 1024     		y = 0.68359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68359375 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15355355245703))-π/2
    2×atan(0.315513580845869)-π/2
    2×0.305627976685362-π/2
    0.611255953370723-1.57079632675     		φ = -0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 450 KachelY 700 -0.38042724 -0.95954037 -21.796875 -54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 451 KachelY 700 -0.37429131 -0.95954037 -21.445312 -54.977613
    Unten links KachelX 450 KachelY + 1 701 -0.38042724 -0.96305292 -21.796875 -55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 451 KachelY + 1 701 -0.37429131 -0.96305292 -21.445312 -55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95954037--0.96305292) × R
    0.00351254999999995 × 6371000     		dl = 22378.4560499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95954037--0.96305292) × R
    0.00351254999999995 × 6371000     		dr = 22378.4560499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.37429131) × cos(-0.95954037) × R
    0.00613593000000001 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 22434.7657990844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.37429131) × cos(-0.96305292) × R
    0.00613593000000001 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 22322.178481987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95954037)-sin(-0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.37429131--0.38042724)×0.00288005955720794×R²
    0.00613593000000001×0.00288005955720794×6371000²
    0.00613593000000001×0.00288005955720794×40589641000000     		ar = 500796170.165468m²