Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44998 / 29061
↖ ↑ ↗
← N 19.947533°
E 67.181396°		 ← 574.20 m → N 19.947533°
E 67.186890°		 →
↑
574.22 m
↓
↑
574.22 m
↓
N 19.942369°
E 67.181396°		 ← 574.22 m →
329 724 m²		 N 19.942369°
E 67.186890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686622619628906 y=0.443443298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686622619628906 × 216)
    floor (0.686622619628906 × 65536)
    floor (44998.5)     		tx = 44998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443443298339844 × 216)
    floor (0.443443298339844 × 65536)
    floor (29061.5)     		ty = 29061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44998 / 29061 ti = "16/44998/29061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44998/29061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44998 ÷ 216
    44998 ÷ 65536     		x = 0.686614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29061 ÷ 216
    29061 ÷ 65536     		y = 0.443435668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686614990234375 × 2 - 1) × π
    0.37322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17253656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443435668945312 × 2 - 1) × π
    0.113128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.355404173783096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17253656} λ = 1.17253656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355404173783096))-π/2
    2×atan(1.4267571956155)-π/2
    2×0.959473226578041-π/2
    1.91894645315608-1.57079632675     		φ = 0.34815013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17253656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.181396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34815013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.947533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44998 KachelY 29061 1.17253656 0.34815013 67.181396 19.947533
    Oben rechts KachelX + 1 44999 KachelY 29061 1.17263244 0.34815013 67.186890 19.947533
    Unten links KachelX 44998 KachelY + 1 29062 1.17253656 0.34806000 67.181396 19.942369
    Unten rechts KachelX + 1 44999 KachelY + 1 29062 1.17263244 0.34806000 67.186890 19.942369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34815013-0.34806000) × R
    9.01300000000216e-05 × 6371000     		dl = 574.218230000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34815013-0.34806000) × R
    9.01300000000216e-05 × 6371000     		dr = 574.218230000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17253656-1.17263244) × cos(0.34815013) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.940005421577498 × 6371000     		do = 574.203702979592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17253656-1.17263244) × cos(0.34806000) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.940036166465555 × 6371000     		du = 574.222483539964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34815013)-sin(0.34806000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940005421577498-0.940036166465555)×R²
    abs(1.17263244-1.17253656)×3.07448880569883e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.07448880569883e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.07448880569883e-05×40589641000000     		ar = 329723.626277812m²