Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44995 / 29063
↖ ↑ ↗
← N 19.937206°
E 67.164917°		 ← 574.24 m → N 19.937206°
E 67.170410°		 →
↑
574.22 m
↓
↑
574.22 m
↓
N 19.932041°
E 67.164917°		 ← 574.26 m →
329 745 m²		 N 19.932041°
E 67.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686576843261719 y=0.443473815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686576843261719 × 216)
    floor (0.686576843261719 × 65536)
    floor (44995.5)     		tx = 44995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443473815917969 × 216)
    floor (0.443473815917969 × 65536)
    floor (29063.5)     		ty = 29063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44995 / 29063 ti = "16/44995/29063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44995/29063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44995 ÷ 216
    44995 ÷ 65536     		x = 0.686569213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29063 ÷ 216
    29063 ÷ 65536     		y = 0.443466186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686569213867188 × 2 - 1) × π
    0.373138427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17224894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443466186523438 × 2 - 1) × π
    0.113067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.355212426184616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17224894} λ = 1.17224894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355212426184616))-π/2
    2×atan(1.42648364457684)-π/2
    2×0.959383101739543-π/2
    1.91876620347909-1.57079632675     		φ = 0.34796988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17224894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.164917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34796988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.937206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44995 KachelY 29063 1.17224894 0.34796988 67.164917 19.937206
    Oben rechts KachelX + 1 44996 KachelY 29063 1.17234482 0.34796988 67.170410 19.937206
    Unten links KachelX 44995 KachelY + 1 29064 1.17224894 0.34787975 67.164917 19.932041
    Unten rechts KachelX + 1 44996 KachelY + 1 29064 1.17234482 0.34787975 67.170410 19.932041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34796988-0.34787975) × R
    9.01300000000216e-05 × 6371000     		dl = 574.218230000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34796988-0.34787975) × R
    9.01300000000216e-05 × 6371000     		dr = 574.218230000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17224894-1.17234482) × cos(0.34796988) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940066900307405 × 6371000     		do = 574.241257351414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17224894-1.17234482) × cos(0.34787975) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940097629923449 × 6371000     		du = 574.260028582854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34796988)-sin(0.34787975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940066900307405-0.940097629923449)×R²
    abs(1.17234482-1.17224894)×3.07296160433346e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07296160433346e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07296160433346e-05×40589641000000     		ar = 329745.188004344m²