Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 446 / 710
↖ ↑ ↗
← S 56.944974°
W 23.203125°		 ← 21.323 km → S 56.944974°
W 22.851562°		 →
↑
21.268 km
↓
↑
21.268 km
↓
S 57.136239°
W 23.203125°		 ← 21.213 km →
452.318 km²		 S 57.136239°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43603515625 y=0.69384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43603515625 × 210)
    floor (0.43603515625 × 1024)
    floor (446.5)     		tx = 446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69384765625 × 210)
    floor (0.69384765625 × 1024)
    floor (710.5)     		ty = 710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 446 / 710 ti = "10/446/710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/446/710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 446 ÷ 210
    446 ÷ 1024     		x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 710 ÷ 210
    710 ÷ 1024     		y = 0.693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693359375 × 2 - 1) × π
    -0.38671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.2149127839707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2149127839707))-π/2
    2×atan(0.29673589329186)-π/2
    2×0.288459517447408-π/2
    0.576919034894816-1.57079632675     		φ = -0.99387729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99387729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.944974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 446 KachelY 710 -0.40497093 -0.99387729 -23.203125 -56.944974
    Oben rechts KachelX + 1 447 KachelY 710 -0.39883500 -0.99387729 -22.851562 -56.944974
    Unten links KachelX 446 KachelY + 1 711 -0.40497093 -0.99721550 -23.203125 -57.136239
    Unten rechts KachelX + 1 447 KachelY + 1 711 -0.39883500 -0.99721550 -22.851562 -57.136239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99387729--0.99721550) × R
    0.00333821000000001 × 6371000     		dl = 21267.7359100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99387729--0.99721550) × R
    0.00333821000000001 × 6371000     		dr = 21267.7359100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.39883500) × cos(-0.99387729) × R
    0.00613593000000001 × 0.545444229211031 × 6371000     		do = 21322.5112791233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.39883500) × cos(-0.99721550) × R
    0.00613593000000001 × 0.542643284198053 × 6371000     		du = 21213.0167085825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99387729)-sin(-0.99721550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545444229211031-0.542643284198053)×R²
    abs(-0.39883500--0.40497093)×0.00280094501297889×R²
    0.00613593000000001×0.00280094501297889×6371000²
    0.00613593000000001×0.00280094501297889×40589641000000     		ar = 452317608.056499m²