Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 443 / 700
↖ ↑ ↗
← S 54.977613°
W 24.257813°		 ← 22.435 km → S 54.977613°
W 23.906250°		 →
↑
22.378 km
↓
↑
22.378 km
↓
S 55.178868°
W 24.257813°		 ← 22.322 km →
500.796 km²		 S 55.178868°
W 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43310546875 y=0.68408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43310546875 × 210)
    floor (0.43310546875 × 1024)
    floor (443.5)     		tx = 443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68408203125 × 210)
    floor (0.68408203125 × 1024)
    floor (700.5)     		ty = 700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 443 / 700 ti = "10/443/700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/443/700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 443 ÷ 210
    443 ÷ 1024     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 700 ÷ 210
    700 ÷ 1024     		y = 0.68359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68359375 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15355355245703))-π/2
    2×atan(0.315513580845869)-π/2
    2×0.305627976685362-π/2
    0.611255953370723-1.57079632675     		φ = -0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 443 KachelY 700 -0.42337870 -0.95954037 -24.257813 -54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 444 KachelY 700 -0.41724277 -0.95954037 -23.906250 -54.977613
    Unten links KachelX 443 KachelY + 1 701 -0.42337870 -0.96305292 -24.257813 -55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 444 KachelY + 1 701 -0.41724277 -0.96305292 -23.906250 -55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95954037--0.96305292) × R
    0.00351254999999995 × 6371000     		dl = 22378.4560499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95954037--0.96305292) × R
    0.00351254999999995 × 6371000     		dr = 22378.4560499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.41724277) × cos(-0.95954037) × R
    0.00613593000000001 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 22434.7657990844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.41724277) × cos(-0.96305292) × R
    0.00613593000000001 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 22322.178481987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95954037)-sin(-0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.41724277--0.42337870)×0.00288005955720794×R²
    0.00613593000000001×0.00288005955720794×6371000²
    0.00613593000000001×0.00288005955720794×40589641000000     		ar = 500796170.165468m²