Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4380 / 2680
↖ ↑ ↗
← N 52.696361°
E 12.480469°		 ← 2 961.41 m → N 52.696361°
E 12.524414°		 →
↑
2 962.26 m
↓
↑
2 962.26 m
↓
N 52.669721°
E 12.480469°		 ← 2 963.21 m →
8 775 129 m²		 N 52.669721°
E 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53472900390625 y=0.32720947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53472900390625 × 213)
    floor (0.53472900390625 × 8192)
    floor (4380.5)     		tx = 4380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32720947265625 × 213)
    floor (0.32720947265625 × 8192)
    floor (2680.5)     		ty = 2680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4380 / 2680 ti = "13/4380/2680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4380/2680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4380 ÷ 213
    4380 ÷ 8192     		x = 0.53466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2680 ÷ 213
    2680 ÷ 8192     		y = 0.3271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53466796875 × 2 - 1) × π
    0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3271484375 × 2 - 1) × π
    0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21782527} λ = 0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08605839779199))-π/2
    2×atan(2.96257374148508)-π/2
    2×1.24526066570588-π/2
    2.49052133141176-1.57079632675     		φ = 0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4380 KachelY 2680 0.21782527 0.91972500 12.480469 52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 4381 KachelY 2680 0.21859226 0.91972500 12.524414 52.696361
    Unten links KachelX 4380 KachelY + 1 2681 0.21782527 0.91926004 12.480469 52.669721
    Unten rechts KachelX + 1 4381 KachelY + 1 2681 0.21859226 0.91926004 12.524414 52.669721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91972500-0.91926004) × R
    0.00046496000000007 × 6371000     		dl = 2962.26016000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91972500-0.91926004) × R
    0.00046496000000007 × 6371000     		dr = 2962.26016000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21782527-0.21859226) × cos(0.91972500) × R
    0.000766990000000023 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 2961.40513647783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21782527-0.21859226) × cos(0.91926004) × R
    0.000766990000000023 × 0.606408704108881 × 6371000     		du = 2963.21206362573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91972500)-sin(0.91926004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.606408704108881)×R²
    abs(0.21859226-0.21782527)×0.000369779930240788×R²
    0.000766990000000023×0.000369779930240788×6371000²
    0.000766990000000023×0.000369779930240788×40589641000000     		ar = 8775128.90564846m²