Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43412 / 22676
↖ ↑ ↗
← N 48.385442°
E 58.469238°		 ← 405.63 m → N 48.385442°
E 58.474731°		 →
↑
405.71 m
↓
↑
405.71 m
↓
N 48.381794°
E 58.469238°		 ← 405.66 m →
164 574 m²		 N 48.381794°
E 58.474731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.662422180175781 y=0.346015930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.662422180175781 × 216)
    floor (0.662422180175781 × 65536)
    floor (43412.5)     		tx = 43412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346015930175781 × 216)
    floor (0.346015930175781 × 65536)
    floor (22676.5)     		ty = 22676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43412 / 22676 ti = "16/43412/22676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43412/22676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43412 ÷ 216
    43412 ÷ 65536     		x = 0.66241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22676 ÷ 216
    22676 ÷ 65536     		y = 0.34600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66241455078125 × 2 - 1) × π
    0.3248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.02048072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34600830078125 × 2 - 1) × π
    0.3079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.967558381931213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.02048072} λ = 1.02048072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967558381931213))-π/2
    2×atan(2.63151146315348)-π/2
    2×1.20764080152278-π/2
    2.41528160304556-1.57079632675     		φ = 0.84448528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.02048072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.469238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84448528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.385442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43412 KachelY 22676 1.02048072 0.84448528 58.469238 48.385442
    Oben rechts KachelX + 1 43413 KachelY 22676 1.02057659 0.84448528 58.474731 48.385442
    Unten links KachelX 43412 KachelY + 1 22677 1.02048072 0.84442160 58.469238 48.381794
    Unten rechts KachelX + 1 43413 KachelY + 1 22677 1.02057659 0.84442160 58.474731 48.381794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84448528-0.84442160) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dl = 405.705280000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84448528-0.84442160) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dr = 405.705280000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.02048072-1.02057659) × cos(0.84448528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664116190237372 × 6371000     		do = 405.634046855971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.02048072-1.02057659) × cos(0.84442160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664163797929546 × 6371000     		du = 405.663125052109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84448528)-sin(0.84442160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664116190237372-0.664163797929546)×R²
    abs(1.02057659-1.02048072)×4.76076921740454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76076921740454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76076921740454e-05×40589641000000     		ar = 164573.77320181m²