Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4336 / 2674
↖ ↑ ↗
← N 52.855864°
E 10.546875°		 ← 2 950.57 m → N 52.855864°
E 10.590820°		 →
↑
2 951.49 m
↓
↑
2 951.49 m
↓
N 52.829321°
E 10.546875°		 ← 2 952.38 m →
8 711 259 m²		 N 52.829321°
E 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52935791015625 y=0.32647705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52935791015625 × 213)
    floor (0.52935791015625 × 8192)
    floor (4336.5)     		tx = 4336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32647705078125 × 213)
    floor (0.32647705078125 × 8192)
    floor (2674.5)     		ty = 2674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4336 / 2674 ti = "13/4336/2674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4336/2674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4336 ÷ 213
    4336 ÷ 8192     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2674 ÷ 213
    2674 ÷ 8192     		y = 0.326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326416015625 × 2 - 1) × π
    0.34716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09066034015552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09066034015552))-π/2
    2×atan(2.97623875377425)-π/2
    2×1.24665259283328-π/2
    2.49330518566655-1.57079632675     		φ = 0.92250886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92250886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.855864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4336 KachelY 2674 0.18407769 0.92250886 10.546875 52.855864
    Oben rechts KachelX + 1 4337 KachelY 2674 0.18484468 0.92250886 10.590820 52.855864
    Unten links KachelX 4336 KachelY + 1 2675 0.18407769 0.92204559 10.546875 52.829321
    Unten rechts KachelX + 1 4337 KachelY + 1 2675 0.18484468 0.92204559 10.590820 52.829321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92250886-0.92204559) × R
    0.000463270000000016 × 6371000     		dl = 2951.4931700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92250886-0.92204559) × R
    0.000463270000000016 × 6371000     		dr = 2951.4931700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18484468) × cos(0.92250886) × R
    0.000766990000000023 × 0.603822199027319 × 6371000     		do = 2950.57312390013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18484468) × cos(0.92204559) × R
    0.000766990000000023 × 0.604191415552408 × 6371000     		du = 2952.37729797253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92250886)-sin(0.92204559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603822199027319-0.604191415552408)×R²
    abs(0.18484468-0.18407769)×0.000369216525088478×R²
    0.000766990000000023×0.000369216525088478×6371000²
    0.000766990000000023×0.000369216525088478×40589641000000     		ar = 8711259.08230547m²