Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4335 / 2675
↖ ↑ ↗
← N 52.829321°
E 10.502929°		 ← 2 952.38 m → N 52.829321°
E 10.546875°		 →
↑
2 953.28 m
↓
↑
2 953.28 m
↓
N 52.802761°
E 10.502929°		 ← 2 954.18 m →
8 721 853 m²		 N 52.802761°
E 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52923583984375 y=0.32659912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52923583984375 × 213)
    floor (0.52923583984375 × 8192)
    floor (4335.5)     		tx = 4335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32659912109375 × 213)
    floor (0.32659912109375 × 8192)
    floor (2675.5)     		ty = 2675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4335 / 2675 ti = "13/4335/2675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4335/2675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4335 ÷ 213
    4335 ÷ 8192     		x = 0.5291748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2675 ÷ 213
    2675 ÷ 8192     		y = 0.3265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5291748046875 × 2 - 1) × π
    0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3265380859375 × 2 - 1) × π
    0.346923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0898933497616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18331070} λ = 0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0898933497616))-π/2
    2×atan(2.97395688243865)-π/2
    2×1.24642095912687-π/2
    2.49284191825374-1.57079632675     		φ = 0.92204559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92204559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.829321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4335 KachelY 2675 0.18331070 0.92204559 10.502929 52.829321
    Oben rechts KachelX + 1 4336 KachelY 2675 0.18407769 0.92204559 10.546875 52.829321
    Unten links KachelX 4335 KachelY + 1 2676 0.18331070 0.92158204 10.502929 52.802761
    Unten rechts KachelX + 1 4336 KachelY + 1 2676 0.18407769 0.92158204 10.546875 52.802761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92204559-0.92158204) × R
    0.000463549999999979 × 6371000     		dl = 2953.27704999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92204559-0.92158204) × R
    0.000463549999999979 × 6371000     		dr = 2953.27704999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18331070-0.18407769) × cos(0.92204559) × R
    0.000766989999999995 × 0.604191415552408 × 6371000     		do = 2952.37729797242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18331070-0.18407769) × cos(0.92158204) × R
    0.000766989999999995 × 0.604560725443044 × 6371000     		du = 2954.18192827495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92204559)-sin(0.92158204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604191415552408-0.604560725443044)×R²
    abs(0.18407769-0.18331070)×0.00036930989063666×R²
    0.000766989999999995×0.00036930989063666×6371000²
    0.000766989999999995×0.00036930989063666×40589641000000     		ar = 8721853.05984817m²