Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4333 / 2673
↖ ↑ ↗
← N 52.882391°
E 10.415039°		 ← 2 948.77 m → N 52.882391°
E 10.458984°		 →
↑
2 949.65 m
↓
↑
2 949.65 m
↓
N 52.855864°
E 10.415039°		 ← 2 950.57 m →
8 700 485 m²		 N 52.855864°
E 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52899169921875 y=0.32635498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52899169921875 × 213)
    floor (0.52899169921875 × 8192)
    floor (4333.5)     		tx = 4333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32635498046875 × 213)
    floor (0.32635498046875 × 8192)
    floor (2673.5)     		ty = 2673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4333 / 2673 ti = "13/4333/2673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4333/2673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4333 ÷ 213
    4333 ÷ 8192     		x = 0.5289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2673 ÷ 213
    2673 ÷ 8192     		y = 0.3262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5289306640625 × 2 - 1) × π
    0.057861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18177672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3262939453125 × 2 - 1) × π
    0.347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09142733054944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18177672} λ = 0.18177672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09142733054944))-π/2
    2×atan(2.9785223759546)-π/2
    2×1.24688408496615-π/2
    2.49376816993229-1.57079632675     		φ = 0.92297184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18177672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92297184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.882391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4333 KachelY 2673 0.18177672 0.92297184 10.415039 52.882391
    Oben rechts KachelX + 1 4334 KachelY 2673 0.18254371 0.92297184 10.458984 52.882391
    Unten links KachelX 4333 KachelY + 1 2674 0.18177672 0.92250886 10.415039 52.855864
    Unten rechts KachelX + 1 4334 KachelY + 1 2674 0.18254371 0.92250886 10.458984 52.855864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92297184-0.92250886) × R
    0.000462980000000002 × 6371000     		dl = 2949.64558000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92297184-0.92250886) × R
    0.000462980000000002 × 6371000     		dr = 2949.64558000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18177672-0.18254371) × cos(0.92297184) × R
    0.000766989999999995 × 0.603453084156052 × 6371000     		do = 2948.76944655833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18177672-0.18254371) × cos(0.92250886) × R
    0.000766989999999995 × 0.603822199027319 × 6371000     		du = 2950.57312390002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92297184)-sin(0.92250886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603453084156052-0.603822199027319)×R²
    abs(0.18254371-0.18177672)×0.000369114871267118×R²
    0.000766989999999995×0.000369114871267118×6371000²
    0.000766989999999995×0.000369114871267118×40589641000000     		ar = 8700485.02434262m²