Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4326 / 2682
↖ ↑ ↗
← N 52.643064°
E 10.107422°		 ← 2 965.02 m → N 52.643064°
E 10.151367°		 →
↑
2 965.96 m
↓
↑
2 965.96 m
↓
N 52.616390°
E 10.107422°		 ← 2 966.83 m →
8 796 797 m²		 N 52.616390°
E 10.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52813720703125 y=0.32745361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52813720703125 × 213)
    floor (0.52813720703125 × 8192)
    floor (4326.5)     		tx = 4326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32745361328125 × 213)
    floor (0.32745361328125 × 8192)
    floor (2682.5)     		ty = 2682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4326 / 2682 ti = "13/4326/2682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4326/2682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4326 ÷ 213
    4326 ÷ 8192     		x = 0.528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2682 ÷ 213
    2682 ÷ 8192     		y = 0.327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528076171875 × 2 - 1) × π
    0.05615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17640779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327392578125 × 2 - 1) × π
    0.34521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08452441700415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17640779} λ = 0.17640779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08452441700415))-π/2
    2×atan(2.95803269411325)-π/2
    2×1.24479555604101-π/2
    2.48959111208203-1.57079632675     		φ = 0.91879479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17640779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91879479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.643064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4326 KachelY 2682 0.17640779 0.91879479 10.107422 52.643064
    Oben rechts KachelX + 1 4327 KachelY 2682 0.17717478 0.91879479 10.151367 52.643064
    Unten links KachelX 4326 KachelY + 1 2683 0.17640779 0.91832925 10.107422 52.616390
    Unten rechts KachelX + 1 4327 KachelY + 1 2683 0.17717478 0.91832925 10.151367 52.616390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91879479-0.91832925) × R
    0.000465539999999987 × 6371000     		dl = 2965.95533999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91879479-0.91832925) × R
    0.000465539999999987 × 6371000     		dr = 2965.95533999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17640779-0.17717478) × cos(0.91879479) × R
    0.000766989999999995 × 0.606778583453547 × 6371000     		do = 2965.01947656144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17640779-0.17717478) × cos(0.91832925) × R
    0.000766989999999995 × 0.607148561887045 × 6371000     		du = 2966.82737369417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91879479)-sin(0.91832925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606778583453547-0.607148561887045)×R²
    abs(0.17717478-0.17640779)×0.000369978433497731×R²
    0.000766989999999995×0.000369978433497731×6371000²
    0.000766989999999995×0.000369978433497731×40589641000000     		ar = 8796796.57966494m²