Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 43200 / 23744
↖ ↑ ↗
← N 44.339565°
E 57.304687°		 ← 436.89 m → N 44.339565°
E 57.310181°		 →
↑
436.86 m
↓
↑
436.86 m
↓
N 44.335636°
E 57.304687°		 ← 436.92 m →
190 865 m²		 N 44.335636°
E 57.310181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.659187316894531 y=0.362312316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.659187316894531 × 216)
    floor (0.659187316894531 × 65536)
    floor (43200.5)     		tx = 43200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362312316894531 × 216)
    floor (0.362312316894531 × 65536)
    floor (23744.5)     		ty = 23744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43200 / 23744 ti = "16/43200/23744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43200/23744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43200 ÷ 216
    43200 ÷ 65536     		x = 0.6591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23744 ÷ 216
    23744 ÷ 65536     		y = 0.3623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6591796875 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.00015547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00015547} λ = 1.00015547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865165164342773))-π/2
    2×atan(2.37539838469237)-π/2
    2×1.17233386462968-π/2
    2.34466772925936-1.57079632675     		φ = 0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00015547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43200 KachelY 23744 1.00015547 0.77387140 57.304687 44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 43201 KachelY 23744 1.00025135 0.77387140 57.310181 44.339565
    Unten links KachelX 43200 KachelY + 1 23745 1.00015547 0.77380283 57.304687 44.335636
    Unten rechts KachelX + 1 43201 KachelY + 1 23745 1.00025135 0.77380283 57.310181 44.335636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77387140-0.77380283) × R
    6.85699999999345e-05 × 6371000     		dl = 436.859469999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77387140-0.77380283) × R
    6.85699999999345e-05 × 6371000     		dr = 436.859469999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00015547-1.00025135) × cos(0.77387140) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 436.887257108236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00015547-1.00025135) × cos(0.77380283) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.715258200989988 × 6371000     		du = 436.916530657597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77387140)-sin(0.77380283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.715258200989988)×R²
    abs(1.00025135-1.00015547)×4.79225316122323e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.79225316122323e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.79225316122323e-05×40589641000000     		ar = 190864.729878055m²