Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43135 / 22401
↖ ↑ ↗
← N 49.378797°
E 56.947632°		 ← 397.66 m → N 49.378797°
E 56.953125°		 →
↑
397.68 m
↓
↑
397.68 m
↓
N 49.375220°
E 56.947632°		 ← 397.69 m →
158 145 m²		 N 49.375220°
E 56.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658195495605469 y=0.341819763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658195495605469 × 216)
    floor (0.658195495605469 × 65536)
    floor (43135.5)     		tx = 43135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341819763183594 × 216)
    floor (0.341819763183594 × 65536)
    floor (22401.5)     		ty = 22401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43135 / 22401 ti = "16/43135/22401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43135/22401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43135 ÷ 216
    43135 ÷ 65536     		x = 0.658187866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22401 ÷ 216
    22401 ÷ 65536     		y = 0.341812133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658187866210938 × 2 - 1) × π
    0.316375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.99392368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341812133789062 × 2 - 1) × π
    0.316375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.993923676722244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99392368} λ = 0.99392368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993923676722244))-π/2
    2×atan(2.70181474962253)-π/2
    2×1.21630945374839-π/2
    2.43261890749678-1.57079632675     		φ = 0.86182258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99392368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.947632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86182258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.378797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43135 KachelY 22401 0.99392368 0.86182258 56.947632 49.378797
    Oben rechts KachelX + 1 43136 KachelY 22401 0.99401955 0.86182258 56.953125 49.378797
    Unten links KachelX 43135 KachelY + 1 22402 0.99392368 0.86176016 56.947632 49.375220
    Unten rechts KachelX + 1 43136 KachelY + 1 22402 0.99401955 0.86176016 56.953125 49.375220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86182258-0.86176016) × R
    6.24200000000075e-05 × 6371000     		dl = 397.677820000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86182258-0.86176016) × R
    6.24200000000075e-05 × 6371000     		dr = 397.677820000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99392368-0.99401955) × cos(0.86182258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651055156598072 × 6371000     		do = 397.656527245529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99392368-0.99401955) × cos(0.86176016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651102534008707 × 6371000     		du = 397.685464788519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86182258)-sin(0.86176016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651055156598072-0.651102534008707)×R²
    abs(0.99401955-0.99392368)×4.73774106350966e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73774106350966e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73774106350966e-05×40589641000000     		ar = 158144.93482472m²