Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43013 / 22528
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
E 56.277466°		 ← 401.38 m → N 48.922499°
E 56.282959°		 →
↑
401.37 m
↓
↑
401.37 m
↓
N 48.918890°
E 56.277466°		 ← 401.41 m →
161 108 m²		 N 48.918890°
E 56.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656333923339844 y=0.343757629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656333923339844 × 216)
    floor (0.656333923339844 × 65536)
    floor (43013.5)     		tx = 43013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343757629394531 × 216)
    floor (0.343757629394531 × 65536)
    floor (22528.5)     		ty = 22528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43013 / 22528 ti = "16/43013/22528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43013/22528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43013 ÷ 216
    43013 ÷ 65536     		x = 0.656326293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22528 ÷ 216
    22528 ÷ 65536     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656326293945312 × 2 - 1) × π
    0.312652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98222707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98222707} λ = 0.98222707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98222707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.277466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43013 KachelY 22528 0.98222707 0.85385869 56.277466 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 43014 KachelY 22528 0.98232295 0.85385869 56.282959 48.922499
    Unten links KachelX 43013 KachelY + 1 22529 0.98222707 0.85379569 56.277466 48.918890
    Unten rechts KachelX + 1 43014 KachelY + 1 22529 0.98232295 0.85379569 56.282959 48.918890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.85379569) × R
    6.30000000000353e-05 × 6371000     		dl = 401.373000000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.85379569) × R
    6.30000000000353e-05 × 6371000     		dr = 401.373000000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98222707-0.98232295) × cos(0.85385869) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 401.377851577432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98222707-0.98232295) × cos(0.85379569) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.657126770941817 × 6371000     		du = 401.406860577631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.85379569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.657126770941817)×R²
    abs(0.98232295-0.98222707)×4.74894489891353e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74894489891353e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74894489891353e-05×40589641000000     		ar = 161108.054189457m²