Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4301 / 4118
↖ ↑ ↗
← S  0.966751°
E  9.008789°		 ← 4 885.80 m → S  0.966751°
E  9.052734°		 →
↑
4 885.73 m
↓
↑
4 885.73 m
↓
S  1.010690°
E  9.008789°		 ← 4 885.73 m →
23 870 526 m²		 S  1.010690°
E  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52508544921875 y=0.50274658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52508544921875 × 213)
    floor (0.52508544921875 × 8192)
    floor (4301.5)     		tx = 4301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50274658203125 × 213)
    floor (0.50274658203125 × 8192)
    floor (4118.5)     		ty = 4118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4301 / 4118 ti = "13/4301/4118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4301/4118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4301 ÷ 213
    4301 ÷ 8192     		x = 0.5250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4118 ÷ 213
    4118 ÷ 8192     		y = 0.502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5250244140625 × 2 - 1) × π
    0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.00537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0168737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15723303} λ = 0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0168737886662598))-π/2
    2×atan(0.983267776341331)-π/2
    2×0.776961669401252-π/2
    1.5539233388025-1.57079632675     		φ = -0.01687299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01687299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.966751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4301 KachelY 4118 0.15723303 -0.01687299 9.008789 -0.966751
    Oben rechts KachelX + 1 4302 KachelY 4118 0.15800002 -0.01687299 9.052734 -0.966751
    Unten links KachelX 4301 KachelY + 1 4119 0.15723303 -0.01763986 9.008789 -1.010690
    Unten rechts KachelX + 1 4302 KachelY + 1 4119 0.15800002 -0.01763986 9.052734 -1.010690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01687299--0.01763986) × R
    0.000766869999999999 × 6371000     		dl = 4885.72877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01687299--0.01763986) × R
    0.000766869999999999 × 6371000     		dr = 4885.72877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15723303-0.15800002) × cos(-0.01687299) × R
    0.000766989999999995 × 0.999857654481399 × 6371000     		do = 4885.79771957847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15723303-0.15800002) × cos(-0.01763986) × R
    0.000766989999999995 × 0.999844421703859 × 6371000     		du = 4885.7330576998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01687299)-sin(-0.01763986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999857654481399-0.999844421703859)×R²
    abs(0.15800002-0.15723303)×1.32327775407282e-05×R²
    0.000766989999999995×1.32327775407282e-05×6371000²
    0.000766989999999995×1.32327775407282e-05×40589641000000     		ar = 23870525.6925784m²