Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 43002 / 22531
↖ ↑ ↗
← N 48.911670°
E 56.217041°		 ← 401.46 m → N 48.911670°
E 56.222534°		 →
↑
401.44 m
↓
↑
401.44 m
↓
N 48.908060°
E 56.217041°		 ← 401.49 m →
161 169 m²		 N 48.908060°
E 56.222534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656166076660156 y=0.343803405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656166076660156 × 216)
    floor (0.656166076660156 × 65536)
    floor (43002.5)     		tx = 43002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343803405761719 × 216)
    floor (0.343803405761719 × 65536)
    floor (22531.5)     		ty = 22531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43002 / 22531 ti = "16/43002/22531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43002/22531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43002 ÷ 216
    43002 ÷ 65536     		x = 0.656158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22531 ÷ 216
    22531 ÷ 65536     		y = 0.343795776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656158447265625 × 2 - 1) × π
    0.31231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98117246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343795776367188 × 2 - 1) × π
    0.312408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.98146008282103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98117246} λ = 0.98117246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98146008282103))-π/2
    2×atan(2.66834941019806)-π/2
    2×1.21223300334198-π/2
    2.42446600668397-1.57079632675     		φ = 0.85366968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98117246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85366968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.911670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43002 KachelY 22531 0.98117246 0.85366968 56.217041 48.911670
    Oben rechts KachelX + 1 43003 KachelY 22531 0.98126834 0.85366968 56.222534 48.911670
    Unten links KachelX 43002 KachelY + 1 22532 0.98117246 0.85360667 56.217041 48.908060
    Unten rechts KachelX + 1 43003 KachelY + 1 22532 0.98126834 0.85360667 56.222534 48.908060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85366968-0.85360667) × R
    6.30099999999745e-05 × 6371000     		dl = 401.436709999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85366968-0.85360667) × R
    6.30099999999745e-05 × 6371000     		dr = 401.436709999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98117246-0.98126834) × cos(0.85366968) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.657221749552171 × 6371000     		do = 401.46487840187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98117246-0.98126834) × cos(0.85360667) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.657269238712331 × 6371000     		du = 401.493887225637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85366968)-sin(0.85360667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657221749552171-0.657269238712331)×R²
    abs(0.98126834-0.98117246)×4.74891601597305e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74891601597305e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74891601597305e-05×40589641000000     		ar = 161168.562622801m²