Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43001 / 22525
↖ ↑ ↗
← N 48.933326°
E 56.211548°		 ← 401.25 m → N 48.933326°
E 56.217041°		 →
↑
401.31 m
↓
↑
401.31 m
↓
N 48.929717°
E 56.211548°		 ← 401.28 m →
161 031 m²		 N 48.929717°
E 56.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656150817871094 y=0.343711853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656150817871094 × 216)
    floor (0.656150817871094 × 65536)
    floor (43001.5)     		tx = 43001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343711853027344 × 216)
    floor (0.343711853027344 × 65536)
    floor (22525.5)     		ty = 22525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43001 / 22525 ti = "16/43001/22525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43001/22525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43001 ÷ 216
    43001 ÷ 65536     		x = 0.656143188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22525 ÷ 216
    22525 ÷ 65536     		y = 0.343704223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656143188476562 × 2 - 1) × π
    0.312286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98107659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343704223632812 × 2 - 1) × π
    0.312591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.98203532561647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98107659} λ = 0.98107659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98203532561647))-π/2
    2×atan(2.66988480054078)-π/2
    2×1.2124219934036-π/2
    2.4248439868072-1.57079632675     		φ = 0.85404766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98107659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.211548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85404766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.933326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43001 KachelY 22525 0.98107659 0.85404766 56.211548 48.933326
    Oben rechts KachelX + 1 43002 KachelY 22525 0.98117246 0.85404766 56.217041 48.933326
    Unten links KachelX 43001 KachelY + 1 22526 0.98107659 0.85398467 56.211548 48.929717
    Unten rechts KachelX + 1 43002 KachelY + 1 22526 0.98117246 0.85398467 56.217041 48.929717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85404766-0.85398467) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dl = 401.309289999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85404766-0.85398467) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dr = 401.309289999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98107659-0.98117246) × cos(0.85404766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656936820117297 × 6371000     		do = 401.248975390326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98107659-0.98117246) × cos(0.85398467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65698430984928 × 6371000     		du = 401.277981537822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85404766)-sin(0.85398467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656936820117297-0.65698430984928)×R²
    abs(0.98117246-0.98107659)×4.74897319825418e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74897319825418e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74897319825418e-05×40589641000000     		ar = 161030.761698693m²