Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42996 / 22516
↖ ↑ ↗
← N 48.965794°
E 56.184082°		 ← 400.99 m → N 48.965794°
E 56.189575°		 →
↑
400.99 m
↓
↑
400.99 m
↓
N 48.962187°
E 56.184082°		 ← 401.02 m →
160 798 m²		 N 48.962187°
E 56.189575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656074523925781 y=0.343574523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656074523925781 × 216)
    floor (0.656074523925781 × 65536)
    floor (42996.5)     		tx = 42996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343574523925781 × 216)
    floor (0.343574523925781 × 65536)
    floor (22516.5)     		ty = 22516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42996 / 22516 ti = "16/42996/22516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42996/22516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42996 ÷ 216
    42996 ÷ 65536     		x = 0.65606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22516 ÷ 216
    22516 ÷ 65536     		y = 0.34356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65606689453125 × 2 - 1) × π
    0.3121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98059722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34356689453125 × 2 - 1) × π
    0.3128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.982898189809631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98059722} λ = 0.98059722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982898189809631))-π/2
    2×atan(2.67218954273179)-π/2
    2×1.21270532484704-π/2
    2.42541064969408-1.57079632675     		φ = 0.85461432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98059722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85461432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.965794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42996 KachelY 22516 0.98059722 0.85461432 56.184082 48.965794
    Oben rechts KachelX + 1 42997 KachelY 22516 0.98069309 0.85461432 56.189575 48.965794
    Unten links KachelX 42996 KachelY + 1 22517 0.98059722 0.85455138 56.184082 48.962187
    Unten rechts KachelX + 1 42997 KachelY + 1 22517 0.98069309 0.85455138 56.189575 48.962187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85461432-0.85455138) × R
    6.29400000000668e-05 × 6371000     		dl = 400.990740000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85461432-0.85455138) × R
    6.29400000000668e-05 × 6371000     		dr = 400.990740000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98059722-0.98069309) × cos(0.85461432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656509483836576 × 6371000     		do = 400.987963616385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98059722-0.98069309) × cos(0.85455138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656556959296605 × 6371000     		du = 401.016961046745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85461432)-sin(0.85455138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656509483836576-0.656556959296605)×R²
    abs(0.98069309-0.98059722)×4.74754600288119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74754600288119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74754600288119e-05×40589641000000     		ar = 160798.274165373m²