Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42988 / 22523
↖ ↑ ↗
← N 48.940543°
E 56.140137°		 ← 401.19 m → N 48.940543°
E 56.145630°		 →
↑
401.25 m
↓
↑
401.25 m
↓
N 48.936935°
E 56.140137°		 ← 401.22 m →
160 982 m²		 N 48.936935°
E 56.145630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655952453613281 y=0.343681335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655952453613281 × 216)
    floor (0.655952453613281 × 65536)
    floor (42988.5)     		tx = 42988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343681335449219 × 216)
    floor (0.343681335449219 × 65536)
    floor (22523.5)     		ty = 22523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42988 / 22523 ti = "16/42988/22523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42988/22523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42988 ÷ 216
    42988 ÷ 65536     		x = 0.65594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22523 ÷ 216
    22523 ÷ 65536     		y = 0.343673706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65594482421875 × 2 - 1) × π
    0.3118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.97983023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343673706054688 × 2 - 1) × π
    0.312652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.982227073214951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97983023} λ = 0.97983023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982227073214951))-π/2
    2×atan(2.67039679362465)-π/2
    2×1.21248497187982-π/2
    2.42496994375963-1.57079632675     		φ = 0.85417362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97983023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85417362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.940543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42988 KachelY 22523 0.97983023 0.85417362 56.140137 48.940543
    Oben rechts KachelX + 1 42989 KachelY 22523 0.97992610 0.85417362 56.145630 48.940543
    Unten links KachelX 42988 KachelY + 1 22524 0.97983023 0.85411064 56.140137 48.936935
    Unten rechts KachelX + 1 42989 KachelY + 1 22524 0.97992610 0.85411064 56.145630 48.936935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85417362-0.85411064) × R
    6.29799999999348e-05 × 6371000     		dl = 401.245579999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85417362-0.85411064) × R
    6.29799999999348e-05 × 6371000     		dr = 401.245579999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97983023-0.97992610) × cos(0.85417362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656841847914424 × 6371000     		do = 401.190967530322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97983023-0.97992610) × cos(0.85411064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65688933531863 × 6371000     		du = 401.21997225604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85417362)-sin(0.85411064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656841847914424-0.65688933531863)×R²
    abs(0.97992610-0.97983023)×4.74874042057927e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74874042057927e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74874042057927e-05×40589641000000     		ar = 160981.921519222m²