Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42970 / 22522
↖ ↑ ↗
← N 48.944151°
E 56.041260°		 ← 401.16 m → N 48.944151°
E 56.046753°		 →
↑
401.18 m
↓
↑
401.18 m
↓
N 48.940543°
E 56.041260°		 ← 401.19 m →
160 945 m²		 N 48.940543°
E 56.046753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655677795410156 y=0.343666076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655677795410156 × 216)
    floor (0.655677795410156 × 65536)
    floor (42970.5)     		tx = 42970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343666076660156 × 216)
    floor (0.343666076660156 × 65536)
    floor (22522.5)     		ty = 22522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42970 / 22522 ti = "16/42970/22522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42970/22522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42970 ÷ 216
    42970 ÷ 65536     		x = 0.655670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22522 ÷ 216
    22522 ÷ 65536     		y = 0.343658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.655670166015625 × 2 - 1) × π
    0.31134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97810450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343658447265625 × 2 - 1) × π
    0.31268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.982322947014191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97810450} λ = 0.97810450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982322947014191))-π/2
    2×atan(2.67065282698398)-π/2
    2×1.21251645770354-π/2
    2.42503291540708-1.57079632675     		φ = 0.85423659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97810450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.041260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85423659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42970 KachelY 22522 0.97810450 0.85423659 56.041260 48.944151
    Oben rechts KachelX + 1 42971 KachelY 22522 0.97820037 0.85423659 56.046753 48.944151
    Unten links KachelX 42970 KachelY + 1 22523 0.97810450 0.85417362 56.041260 48.940543
    Unten rechts KachelX + 1 42971 KachelY + 1 22523 0.97820037 0.85417362 56.046753 48.940543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85423659-0.85417362) × R
    6.29699999999955e-05 × 6371000     		dl = 401.181869999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85423659-0.85417362) × R
    6.29699999999955e-05 × 6371000     		dr = 401.181869999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97810450-0.97820037) × cos(0.85423659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656794365445566 × 6371000     		do = 401.161965819053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97810450-0.97820037) × cos(0.85417362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656841847914424 × 6371000     		du = 401.190967530322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85423659)-sin(0.85417362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656794365445566-0.656841847914424)×R²
    abs(0.97820037-0.97810450)×4.74824688586617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74824688586617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74824688586617e-05×40589641000000     		ar = 160944.725153924m²