Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42944 / 23488
↖ ↑ ↗
← N 45.336702°
E 55.898437°		 ← 429.35 m → N 45.336702°
E 55.903930°		 →
↑
429.41 m
↓
↑
429.41 m
↓
N 45.332840°
E 55.898437°		 ← 429.38 m →
184 370 m²		 N 45.332840°
E 55.903930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655281066894531 y=0.358406066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655281066894531 × 216)
    floor (0.655281066894531 × 65536)
    floor (42944.5)     		tx = 42944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358406066894531 × 216)
    floor (0.358406066894531 × 65536)
    floor (23488.5)     		ty = 23488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42944 / 23488 ti = "16/42944/23488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42944/23488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42944 ÷ 216
    42944 ÷ 65536     		x = 0.6552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23488 ÷ 216
    23488 ÷ 65536     		y = 0.3583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3583984375 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.889708856948242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97561178} λ = 0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.889708856948242))-π/2
    2×atan(2.43442078340776)-π/2
    2×1.18103552355058-π/2
    2.36207104710117-1.57079632675     		φ = 0.79127472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79127472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.336702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42944 KachelY 23488 0.97561178 0.79127472 55.898437 45.336702
    Oben rechts KachelX + 1 42945 KachelY 23488 0.97570765 0.79127472 55.903930 45.336702
    Unten links KachelX 42944 KachelY + 1 23489 0.97561178 0.79120732 55.898437 45.332840
    Unten rechts KachelX + 1 42945 KachelY + 1 23489 0.97570765 0.79120732 55.903930 45.332840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79127472-0.79120732) × R
    6.73999999999397e-05 × 6371000     		dl = 429.405399999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79127472-0.79120732) × R
    6.73999999999397e-05 × 6371000     		dr = 429.405399999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97561178-0.97570765) × cos(0.79127472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702939242531099 × 6371000     		do = 429.346692391049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97561178-0.97570765) × cos(0.79120732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70298717917773 × 6371000     		du = 429.375971508547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79127472)-sin(0.79120732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702939242531099-0.70298717917773)×R²
    abs(0.97570765-0.97561178)×4.79366466317188e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79366466317188e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79366466317188e-05×40589641000000     		ar = 184370.074559954m²