Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42912 / 23456
↖ ↑ ↗
← N 45.460131°
E 55.722656°		 ← 428.41 m → N 45.460131°
E 55.728149°		 →
↑
428.45 m
↓
↑
428.45 m
↓
N 45.456278°
E 55.722656°		 ← 428.44 m →
183 558 m²		 N 45.456278°
E 55.728149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654792785644531 y=0.357917785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654792785644531 × 216)
    floor (0.654792785644531 × 65536)
    floor (42912.5)     		tx = 42912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357917785644531 × 216)
    floor (0.357917785644531 × 65536)
    floor (23456.5)     		ty = 23456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42912 / 23456 ti = "16/42912/23456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42912/23456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42912 ÷ 216
    42912 ÷ 65536     		x = 0.65478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23456 ÷ 216
    23456 ÷ 65536     		y = 0.35791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97254382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35791015625 × 2 - 1) × π
    0.2841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.892776818523926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97254382} λ = 0.97254382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892776818523926))-π/2
    2×atan(2.44190096141245)-π/2
    2×1.18211264239774-π/2
    2.36422528479547-1.57079632675     		φ = 0.79342896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97254382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79342896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.460131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42912 KachelY 23456 0.97254382 0.79342896 55.722656 45.460131
    Oben rechts KachelX + 1 42913 KachelY 23456 0.97263969 0.79342896 55.728149 45.460131
    Unten links KachelX 42912 KachelY + 1 23457 0.97254382 0.79336171 55.722656 45.456278
    Unten rechts KachelX + 1 42913 KachelY + 1 23457 0.97263969 0.79336171 55.728149 45.456278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79342896-0.79336171) × R
    6.72499999999632e-05 × 6371000     		dl = 428.449749999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79342896-0.79336171) × R
    6.72499999999632e-05 × 6371000     		dr = 428.449749999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97254382-0.97263969) × cos(0.79342896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701405409648006 × 6371000     		do = 428.409846024833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97254382-0.97263969) × cos(0.79336171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701453341343318 × 6371000     		du = 428.439122118125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79342896)-sin(0.79336171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701405409648006-0.701453341343318)×R²
    abs(0.97263969-0.97254382)×4.79316953119202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79316953119202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79316953119202e-05×40589641000000     		ar = 183558.363163576m²