Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42904 / 23448
↖ ↑ ↗
← N 45.490946°
E 55.678711°		 ← 428.18 m → N 45.490946°
E 55.684204°		 →
↑
428.19 m
↓
↑
428.19 m
↓
N 45.487095°
E 55.678711°		 ← 428.20 m →
183 349 m²		 N 45.487095°
E 55.684204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654670715332031 y=0.357795715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654670715332031 × 216)
    floor (0.654670715332031 × 65536)
    floor (42904.5)     		tx = 42904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357795715332031 × 216)
    floor (0.357795715332031 × 65536)
    floor (23448.5)     		ty = 23448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42904 / 23448 ti = "16/42904/23448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42904/23448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42904 ÷ 216
    42904 ÷ 65536     		x = 0.6546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23448 ÷ 216
    23448 ÷ 65536     		y = 0.3577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6546630859375 × 2 - 1) × π
    0.309326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97177683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3577880859375 × 2 - 1) × π
    0.284423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97177683} λ = 0.97177683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.893543808917847))-π/2
    2×atan(2.44377459443018)-π/2
    2×1.18238155447964-π/2
    2.36476310895927-1.57079632675     		φ = 0.79396678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97177683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79396678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.490946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42904 KachelY 23448 0.97177683 0.79396678 55.678711 45.490946
    Oben rechts KachelX + 1 42905 KachelY 23448 0.97187270 0.79396678 55.684204 45.490946
    Unten links KachelX 42904 KachelY + 1 23449 0.97177683 0.79389957 55.678711 45.487095
    Unten rechts KachelX + 1 42905 KachelY + 1 23449 0.97187270 0.79389957 55.684204 45.487095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79396678-0.79389957) × R
    6.72099999999842e-05 × 6371000     		dl = 428.194909999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79396678-0.79389957) × R
    6.72099999999842e-05 × 6371000     		dr = 428.194909999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97177683-0.97187270) × cos(0.79396678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701021970271482 × 6371000     		do = 428.175645943116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97177683-0.97187270) × cos(0.79389957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701069898805734 × 6371000     		du = 428.20492010567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79396678)-sin(0.79389957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701021970271482-0.701069898805734)×R²
    abs(0.97187270-0.97177683)×4.79285342516178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79285342516178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79285342516178e-05×40589641000000     		ar = 183348.899771307m²