Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42900 / 22420
↖ ↑ ↗
← N 49.310799°
E 55.656738°		 ← 398.25 m → N 49.310799°
E 55.662232°		 →
↑
398.25 m
↓
↑
398.25 m
↓
N 49.307217°
E 55.656738°		 ← 398.28 m →
158 609 m²		 N 49.307217°
E 55.662232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654609680175781 y=0.342109680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654609680175781 × 216)
    floor (0.654609680175781 × 65536)
    floor (42900.5)     		tx = 42900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342109680175781 × 216)
    floor (0.342109680175781 × 65536)
    floor (22420.5)     		ty = 22420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42900 / 22420 ti = "16/42900/22420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42900/22420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42900 ÷ 216
    42900 ÷ 65536     		x = 0.65460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22420 ÷ 216
    22420 ÷ 65536     		y = 0.34210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65460205078125 × 2 - 1) × π
    0.3092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.97139333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34210205078125 × 2 - 1) × π
    0.3157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.992102074536682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97139333} λ = 0.97139333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992102074536682))-π/2
    2×atan(2.6968975978765)-π/2
    2×1.21571606200748-π/2
    2.43143212401497-1.57079632675     		φ = 0.86063580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97139333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86063580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.310799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42900 KachelY 22420 0.97139333 0.86063580 55.656738 49.310799
    Oben rechts KachelX + 1 42901 KachelY 22420 0.97148921 0.86063580 55.662232 49.310799
    Unten links KachelX 42900 KachelY + 1 22421 0.97139333 0.86057329 55.656738 49.307217
    Unten rechts KachelX + 1 42901 KachelY + 1 22421 0.97148921 0.86057329 55.662232 49.307217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86063580-0.86057329) × R
    6.25099999999046e-05 × 6371000     		dl = 398.251209999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86063580-0.86057329) × R
    6.25099999999046e-05 × 6371000     		dr = 398.251209999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97139333-0.97148921) × cos(0.86063580) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.651955500023835 × 6371000     		do = 398.247982083438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97139333-0.97148921) × cos(0.86057329) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.652002897409457 × 6371000     		du = 398.276934846594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86063580)-sin(0.86057329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651955500023835-0.652002897409457)×R²
    abs(0.97148921-0.97139333)×4.73973856228715e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.73973856228715e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.73973856228715e-05×40589641000000     		ar = 158608.506032801m²