Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 429 / 510
↖ ↑ ↗
← S 84.928321°
E121.640625°		 ← 6 911.61 m → S 84.928321°
E122.343750°		 →
↑
6 869.53 m
↓
↑
6 869.53 m
↓
S 84.990100°
E121.640625°		 ← 6 827.64 m →
47 191 113 m²		 S 84.990100°
E122.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8388671875 y=0.9970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8388671875 × 29)
    floor (0.8388671875 × 512)
    floor (429.5)     		tx = 429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9970703125 × 29)
    floor (0.9970703125 × 512)
    floor (510.5)     		ty = 510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 429 / 510 ti = "9/429/510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/429/510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 429 ÷ 29
    429 ÷ 512     		x = 0.837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 510 ÷ 29
    510 ÷ 512     		y = 0.99609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837890625 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.99609375 × 2 - 1) × π
    -0.9921875 × 3.1415926535     		Φ = -3.11704896089453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12302941} λ = 2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.11704896089453))-π/2
    2×atan(0.0442876704140227)-π/2
    2×0.0442587491962964-π/2
    0.0885174983925929-1.57079632675     		φ = -1.48227883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.48227883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.928321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 429 KachelY 510 2.12302941 -1.48227883 121.640625 -84.928321
    Oben rechts KachelX + 1 430 KachelY 510 2.13530126 -1.48227883 122.343750 -84.928321
    Unten links KachelX 429 KachelY + 1 511 2.12302941 -1.48335708 121.640625 -84.990100
    Unten rechts KachelX + 1 430 KachelY + 1 511 2.13530126 -1.48335708 122.343750 -84.990100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.48227883--1.48335708) × R
    0.00107824999999995 × 6371000     		dl = 6869.53074999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.48227883--1.48335708) × R
    0.00107824999999995 × 6371000     		dr = 6869.53074999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12302941-2.13530126) × cos(-1.48227883) × R
    0.0122718499999999 × 0.0884019478518086 × 6371000     		do = 6911.6140321007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12302941-2.13530126) × cos(-1.48335708) × R
    0.0122718499999999 × 0.087327868144964 × 6371000     		du = 6827.63823118434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.48227883)-sin(-1.48335708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0884019478518086-0.087327868144964)×R²
    abs(2.13530126-2.12302941)×0.00107407970684462×R²
    0.0122718499999999×0.00107407970684462×6371000²
    0.0122718499999999×0.00107407970684462×40589641000000     		ar = 47191112.5244133m²