Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42899 / 22421
↖ ↑ ↗
← N 49.307217°
E 55.651245°		 ← 398.24 m → N 49.307217°
E 55.656738°		 →
↑
398.25 m
↓
↑
398.25 m
↓
N 49.303636°
E 55.651245°		 ← 398.26 m →
158 603 m²		 N 49.303636°
E 55.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654594421386719 y=0.342124938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654594421386719 × 216)
    floor (0.654594421386719 × 65536)
    floor (42899.5)     		tx = 42899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342124938964844 × 216)
    floor (0.342124938964844 × 65536)
    floor (22421.5)     		ty = 22421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42899 / 22421 ti = "16/42899/22421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42899/22421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42899 ÷ 216
    42899 ÷ 65536     		x = 0.654586791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22421 ÷ 216
    22421 ÷ 65536     		y = 0.342117309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654586791992188 × 2 - 1) × π
    0.309173583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.97129746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342117309570312 × 2 - 1) × π
    0.315765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.992006200737442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97129746} λ = 0.97129746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992006200737442))-π/2
    2×atan(2.69663904845189)-π/2
    2×1.21568480814603-π/2
    2.43136961629205-1.57079632675     		φ = 0.86057329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97129746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.651245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86057329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.307217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42899 KachelY 22421 0.97129746 0.86057329 55.651245 49.307217
    Oben rechts KachelX + 1 42900 KachelY 22421 0.97139333 0.86057329 55.656738 49.307217
    Unten links KachelX 42899 KachelY + 1 22422 0.97129746 0.86051078 55.651245 49.303636
    Unten rechts KachelX + 1 42900 KachelY + 1 22422 0.97139333 0.86051078 55.656738 49.303636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86057329-0.86051078) × R
    6.25100000000156e-05 × 6371000     		dl = 398.251210000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86057329-0.86051078) × R
    6.25100000000156e-05 × 6371000     		dr = 398.251210000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97129746-0.97139333) × cos(0.86057329) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.652002897409457 × 6371000     		do = 398.235395742714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97129746-0.97139333) × cos(0.86051078) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.652050292247379 × 6371000     		du = 398.264343930077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86057329)-sin(0.86051078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652002897409457-0.652050292247379)×R²
    abs(0.97139333-0.97129746)×4.73948379215994e-05×R²
    9.58700000001089e-05×4.73948379215994e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×4.73948379215994e-05×40589641000000     		ar = 158603.492596225m²