Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42884 / 23420
↖ ↑ ↗
← N 45.598666°
E 55.568847°		 ← 427.40 m → N 45.598666°
E 55.574341°		 →
↑
427.37 m
↓
↑
427.37 m
↓
N 45.594822°
E 55.568847°		 ← 427.43 m →
182 663 m²		 N 45.594822°
E 55.574341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654365539550781 y=0.357368469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654365539550781 × 216)
    floor (0.654365539550781 × 65536)
    floor (42884.5)     		tx = 42884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357368469238281 × 216)
    floor (0.357368469238281 × 65536)
    floor (23420.5)     		ty = 23420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42884 / 23420 ti = "16/42884/23420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42884/23420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42884 ÷ 216
    42884 ÷ 65536     		x = 0.65435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23420 ÷ 216
    23420 ÷ 65536     		y = 0.35736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65435791015625 × 2 - 1) × π
    0.3087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.96985935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35736083984375 × 2 - 1) × π
    0.2852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.89622827529657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96985935} λ = 0.96985935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.89622827529657))-π/2
    2×atan(2.45034363841005)-π/2
    2×1.18332158879026-π/2
    2.36664317758052-1.57079632675     		φ = 0.79584685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96985935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.568847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79584685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.598666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42884 KachelY 23420 0.96985935 0.79584685 55.568847 45.598666
    Oben rechts KachelX + 1 42885 KachelY 23420 0.96995523 0.79584685 55.574341 45.598666
    Unten links KachelX 42884 KachelY + 1 23421 0.96985935 0.79577977 55.568847 45.594822
    Unten rechts KachelX + 1 42885 KachelY + 1 23421 0.96995523 0.79577977 55.574341 45.594822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79584685-0.79577977) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dl = 427.366679999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79584685-0.79577977) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dr = 427.366679999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96985935-0.96995523) × cos(0.79584685) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.69967997961314 × 6371000     		do = 427.400551072776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96985935-0.96995523) × cos(0.79577977) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.699727903773228 × 6371000     		du = 427.429825616894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79584685)-sin(0.79577977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69967997961314-0.699727903773228)×R²
    abs(0.96995523-0.96985935)×4.7924160088475e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7924160088475e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7924160088475e-05×40589641000000     		ar = 182663.010093046m²