Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42876 / 23428
↖ ↑ ↗
← N 45.567910°
E 55.524902°		 ← 427.63 m → N 45.567910°
E 55.530396°		 →
↑
427.62 m
↓
↑
427.62 m
↓
N 45.564064°
E 55.524902°		 ← 427.66 m →
182 872 m²		 N 45.564064°
E 55.530396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654243469238281 y=0.357490539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654243469238281 × 216)
    floor (0.654243469238281 × 65536)
    floor (42876.5)     		tx = 42876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357490539550781 × 216)
    floor (0.357490539550781 × 65536)
    floor (23428.5)     		ty = 23428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42876 / 23428 ti = "16/42876/23428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42876/23428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42876 ÷ 216
    42876 ÷ 65536     		x = 0.65423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23428 ÷ 216
    23428 ÷ 65536     		y = 0.35748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65423583984375 × 2 - 1) × π
    0.3084716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.96909236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35748291015625 × 2 - 1) × π
    0.2850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.895461284902649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96909236} λ = 0.96909236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895461284902649))-π/2
    2×atan(2.4484649689304)-π/2
    2×1.18305319136011-π/2
    2.36610638272022-1.57079632675     		φ = 0.79531006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96909236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.524902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79531006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.567910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42876 KachelY 23428 0.96909236 0.79531006 55.524902 45.567910
    Oben rechts KachelX + 1 42877 KachelY 23428 0.96918824 0.79531006 55.530396 45.567910
    Unten links KachelX 42876 KachelY + 1 23429 0.96909236 0.79524294 55.524902 45.564064
    Unten rechts KachelX + 1 42877 KachelY + 1 23429 0.96918824 0.79524294 55.530396 45.564064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79531006-0.79524294) × R
    6.71200000000871e-05 × 6371000     		dl = 427.621520000555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79531006-0.79524294) × R
    6.71200000000871e-05 × 6371000     		dr = 427.621520000555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96909236-0.96918824) × cos(0.79531006) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.700063391833531 × 6371000     		do = 427.634758995547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96909236-0.96918824) × cos(0.79524294) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.700111319353214 × 6371000     		du = 427.664035591878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79531006)-sin(0.79524294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700063391833531-0.700111319353214)×R²
    abs(0.96918824-0.96909236)×4.79275196834106e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79275196834106e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79275196834106e-05×40589641000000     		ar = 182872.085366936m²