Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42872 / 23432
↖ ↑ ↗
← N 45.552525°
E 55.502930°		 ← 427.71 m → N 45.552525°
E 55.508423°		 →
↑
427.75 m
↓
↑
427.75 m
↓
N 45.548679°
E 55.502930°		 ← 427.74 m →
182 958 m²		 N 45.548679°
E 55.508423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654182434082031 y=0.357551574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654182434082031 × 216)
    floor (0.654182434082031 × 65536)
    floor (42872.5)     		tx = 42872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357551574707031 × 216)
    floor (0.357551574707031 × 65536)
    floor (23432.5)     		ty = 23432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42872 / 23432 ti = "16/42872/23432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42872/23432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42872 ÷ 216
    42872 ÷ 65536     		x = 0.6541748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23432 ÷ 216
    23432 ÷ 65536     		y = 0.3575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6541748046875 × 2 - 1) × π
    0.308349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.96870887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3575439453125 × 2 - 1) × π
    0.284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.895077789705689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96870887} λ = 0.96870887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895077789705689))-π/2
    2×atan(2.44752617439799)-π/2
    2×1.18291893750536-π/2
    2.36583787501072-1.57079632675     		φ = 0.79504155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96870887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79504155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.552525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42872 KachelY 23432 0.96870887 0.79504155 55.502930 45.552525
    Oben rechts KachelX + 1 42873 KachelY 23432 0.96880474 0.79504155 55.508423 45.552525
    Unten links KachelX 42872 KachelY + 1 23433 0.96870887 0.79497441 55.502930 45.548679
    Unten rechts KachelX + 1 42873 KachelY + 1 23433 0.96880474 0.79497441 55.508423 45.548679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79504155-0.79497441) × R
    6.71399999999656e-05 × 6371000     		dl = 427.748939999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79504155-0.79497441) × R
    6.71399999999656e-05 × 6371000     		dr = 427.748939999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96870887-0.96880474) × cos(0.79504155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700255104403776 × 6371000     		do = 427.70725364989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96870887-0.96880474) × cos(0.79497441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700303033581398 × 6371000     		du = 427.736528205408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79504155)-sin(0.79497441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700255104403776-0.700303033581398)×R²
    abs(0.96880474-0.96870887)×4.79291776214197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79291776214197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79291776214197e-05×40589641000000     		ar = 182957.58552779m²