Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42777 / 23320
↖ ↑ ↗
← N 45.981695°
E 54.981079°		 ← 424.43 m → N 45.981695°
E 54.986572°		 →
↑
424.50 m
↓
↑
424.50 m
↓
N 45.977878°
E 54.981079°		 ← 424.46 m →
180 176 m²		 N 45.977878°
E 54.986572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652732849121094 y=0.355842590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652732849121094 × 216)
    floor (0.652732849121094 × 65536)
    floor (42777.5)     		tx = 42777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355842590332031 × 216)
    floor (0.355842590332031 × 65536)
    floor (23320.5)     		ty = 23320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42777 / 23320 ti = "16/42777/23320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42777/23320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42777 ÷ 216
    42777 ÷ 65536     		x = 0.652725219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23320 ÷ 216
    23320 ÷ 65536     		y = 0.3558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652725219726562 × 2 - 1) × π
    0.305450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95960086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3558349609375 × 2 - 1) × π
    0.288330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.905815655220581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95960086} λ = 0.95960086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.905815655220581))-π/2
    2×atan(2.47394898973909)-π/2
    2×1.18666415170286-π/2
    2.37332830340571-1.57079632675     		φ = 0.80253198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95960086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.981079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80253198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.981695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42777 KachelY 23320 0.95960086 0.80253198 54.981079 45.981695
    Oben rechts KachelX + 1 42778 KachelY 23320 0.95969673 0.80253198 54.986572 45.981695
    Unten links KachelX 42777 KachelY + 1 23321 0.95960086 0.80246535 54.981079 45.977878
    Unten rechts KachelX + 1 42778 KachelY + 1 23321 0.95969673 0.80246535 54.986572 45.977878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80253198-0.80246535) × R
    6.66300000000675e-05 × 6371000     		dl = 424.49973000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80253198-0.80246535) × R
    6.66300000000675e-05 × 6371000     		dr = 424.49973000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95960086-0.95969673) × cos(0.80253198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694888146747612 × 6371000     		do = 424.429181551398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95960086-0.95969673) × cos(0.80246535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694936060026559 × 6371000     		du = 424.458446396199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80253198)-sin(0.80246535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694888146747612-0.694936060026559)×R²
    abs(0.95969673-0.95960086)×4.79132789470427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79132789470427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79132789470427e-05×40589641000000     		ar = 180176.284498585m²