Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4275 / 4077
↖ ↑ ↗
← N  0.834931°
E  7.866211°		 ← 4 885.97 m → N  0.834931°
E  7.910156°		 →
↑
4 885.98 m
↓
↑
4 885.98 m
↓
N  0.790991°
E  7.866211°		 ← 4 886.03 m →
23 872 922 m²		 N  0.790991°
E  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52191162109375 y=0.49774169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52191162109375 × 213)
    floor (0.52191162109375 × 8192)
    floor (4275.5)     		tx = 4275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49774169921875 × 213)
    floor (0.49774169921875 × 8192)
    floor (4077.5)     		ty = 4077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4275 / 4077 ti = "13/4275/4077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4275/4077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4275 ÷ 213
    4275 ÷ 8192     		x = 0.5218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4077 ÷ 213
    4077 ÷ 8192     		y = 0.4976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5218505859375 × 2 - 1) × π
    0.043701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13729128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    0.004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0145728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13729128} λ = 0.13729128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0145728174844971))-π/2
    2×atan(1.01467951867147)-π/2
    2×0.792684314254583-π/2
    1.58536862850917-1.57079632675     		φ = 0.01457230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13729128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01457230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.834931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4275 KachelY 4077 0.13729128 0.01457230 7.866211 0.834931
    Oben rechts KachelX + 1 4276 KachelY 4077 0.13805827 0.01457230 7.910156 0.834931
    Unten links KachelX 4275 KachelY + 1 4078 0.13729128 0.01380539 7.866211 0.790991
    Unten rechts KachelX + 1 4276 KachelY + 1 4078 0.13805827 0.01380539 7.910156 0.790991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01457230-0.01380539) × R
    0.000766909999999999 × 6371000     		dl = 4885.98360999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01457230-0.01380539) × R
    0.000766909999999999 × 6371000     		dr = 4885.98360999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13729128-0.13805827) × cos(0.01457230) × R
    0.000766990000000023 × 0.999893825915231 × 6371000     		do = 4885.97447104735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13729128-0.13805827) × cos(0.01380539) × R
    0.000766990000000023 × 0.999904707116968 × 6371000     		du = 4886.02764196663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01457230)-sin(0.01380539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999893825915231-0.999904707116968)×R²
    abs(0.13805827-0.13729128)×1.08812017370896e-05×R²
    0.000766990000000023×1.08812017370896e-05×6371000²
    0.000766990000000023×1.08812017370896e-05×40589641000000     		ar = 23872922.2506093m²