Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4270 / 4087
↖ ↑ ↗
← N  0.395505°
E  7.646484°		 ← 4 886.38 m → N  0.395505°
E  7.690430°		 →
↑
4 886.43 m
↓
↑
4 886.43 m
↓
N  0.351560°
E  7.646484°		 ← 4 886.40 m →
23 876 997 m²		 N  0.351560°
E  7.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52130126953125 y=0.49896240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52130126953125 × 213)
    floor (0.52130126953125 × 8192)
    floor (4270.5)     		tx = 4270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49896240234375 × 213)
    floor (0.49896240234375 × 8192)
    floor (4087.5)     		ty = 4087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4270 / 4087 ti = "13/4270/4087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4270/4087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4270 ÷ 213
    4270 ÷ 8192     		x = 0.521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4087 ÷ 213
    4087 ÷ 8192     		y = 0.4989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521240234375 × 2 - 1) × π
    0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4989013671875 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00690291354528809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13345633} λ = 0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00690291354528809))-π/2
    2×atan(1.00692679356862)-π/2
    2×0.788849592759976-π/2
    1.57769918551995-1.57079632675     		φ = 0.00690286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00690286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.395505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4270 KachelY 4087 0.13345633 0.00690286 7.646484 0.395505
    Oben rechts KachelX + 1 4271 KachelY 4087 0.13422332 0.00690286 7.690430 0.395505
    Unten links KachelX 4270 KachelY + 1 4088 0.13345633 0.00613588 7.646484 0.351560
    Unten rechts KachelX + 1 4271 KachelY + 1 4088 0.13422332 0.00613588 7.690430 0.351560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00690286-0.00613588) × R
    0.00076698 × 6371000     		dl = 4886.42958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00690286-0.00613588) × R
    0.00076698 × 6371000     		dr = 4886.42958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13345633-0.13422332) × cos(0.00690286) × R
    0.000766989999999995 × 0.999976175356513 × 6371000     		do = 4886.37687103943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13345633-0.13422332) × cos(0.00613588) × R
    0.000766989999999995 × 0.999981175547373 × 6371000     		du = 4886.40130443852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00690286)-sin(0.00613588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999976175356513-0.999981175547373)×R²
    abs(0.13422332-0.13345633)×5.00019086002723e-06×R²
    0.000766989999999995×5.00019086002723e-06×6371000²
    0.000766989999999995×5.00019086002723e-06×40589641000000     		ar = 23876997.3482039m²