Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 427 / 507
↖ ↑ ↗
← S 84.738387°
E120.234375°		 ← 7 169.73 m → S 84.738387°
E120.937500°		 →
↑
7 126.09 m
↓
↑
7 126.09 m
↓
S 84.802474°
E120.234375°		 ← 7 082.65 m →
50 781 879 m²		 S 84.802474°
E120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8349609375 y=0.9912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8349609375 × 29)
    floor (0.8349609375 × 512)
    floor (427.5)     		tx = 427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9912109375 × 29)
    floor (0.9912109375 × 512)
    floor (507.5)     		ty = 507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 427 / 507 ti = "9/427/507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/427/507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 427 ÷ 29
    427 ÷ 512     		x = 0.833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 507 ÷ 29
    507 ÷ 512     		y = 0.990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.833984375 × 2 - 1) × π
    0.66796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.09848572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.990234375 × 2 - 1) × π
    -0.98046875 × 3.1415926535     		Φ = -3.08023342198633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.09848572} λ = 2.09848572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.08023342198633))-π/2
    2×atan(0.0459485300000336)-π/2
    2×0.0459162343563875-π/2
    0.091832468712775-1.57079632675     		φ = -1.47896386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.09848572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47896386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.738387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 427 KachelY 507 2.09848572 -1.47896386 120.234375 -84.738387
    Oben rechts KachelX + 1 428 KachelY 507 2.11075756 -1.47896386 120.937500 -84.738387
    Unten links KachelX 427 KachelY + 1 508 2.09848572 -1.48008238 120.234375 -84.802474
    Unten rechts KachelX + 1 428 KachelY + 1 508 2.11075756 -1.48008238 120.937500 -84.802474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47896386--1.48008238) × R
    0.00111852000000012 × 6371000     		dl = 7126.09092000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47896386--1.48008238) × R
    0.00111852000000012 × 6371000     		dr = 7126.09092000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.09848572-2.11075756) × cos(-1.47896386) × R
    0.0122718399999999 × 0.0917034475860416 × 6371000     		do = 7169.7325007849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.09848572-2.11075756) × cos(-1.48008238) × R
    0.0122718399999999 × 0.0905895834927595 × 6371000     		du = 7082.64627010018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47896386)-sin(-1.48008238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0917034475860416-0.0905895834927595)×R²
    abs(2.11075756-2.09848572)×0.00111386409328208×R²
    0.0122718399999999×0.00111386409328208×6371000²
    0.0122718399999999×0.00111386409328208×40589641000000     		ar = 50781878.7681996m²