Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4268 / 4132
↖ ↑ ↗
← S  1.581830°
E  7.558594°		 ← 4 884.63 m → S  1.581830°
E  7.602539°		 →
↑
4 884.58 m
↓
↑
4 884.58 m
↓
S  1.625759°
E  7.558594°		 ← 4 884.53 m →
23 859 126 m²		 S  1.625759°
E  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52105712890625 y=0.50445556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52105712890625 × 213)
    floor (0.52105712890625 × 8192)
    floor (4268.5)     		tx = 4268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50445556640625 × 213)
    floor (0.50445556640625 × 8192)
    floor (4132.5)     		ty = 4132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4268 / 4132 ti = "13/4268/4132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4268/4132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4268 ÷ 213
    4268 ÷ 8192     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4132 ÷ 213
    4132 ÷ 8192     		y = 0.50439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0276116541811523))-π/2
    2×atan(0.972766063091431)-π/2
    2×0.771594090240941-π/2
    1.54318818048188-1.57079632675     		φ = -0.02760815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02760815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.581830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4268 KachelY 4132 0.13192235 -0.02760815 7.558594 -1.581830
    Oben rechts KachelX + 1 4269 KachelY 4132 0.13268934 -0.02760815 7.602539 -1.581830
    Unten links KachelX 4268 KachelY + 1 4133 0.13192235 -0.02837484 7.558594 -1.625759
    Unten rechts KachelX + 1 4269 KachelY + 1 4133 0.13268934 -0.02837484 7.602539 -1.625759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02760815--0.02837484) × R
    0.000766689999999997 × 6371000     		dl = 4884.58198999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02760815--0.02837484) × R
    0.000766689999999997 × 6371000     		dr = 4884.58198999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13268934) × cos(-0.02760815) × R
    0.000766989999999995 × 0.999618919233007 × 6371000     		do = 4884.63114138911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13268934) × cos(-0.02837484) × R
    0.000766989999999995 × 0.999597461236629 × 6371000     		du = 4884.52628703379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02760815)-sin(-0.02837484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999618919233007-0.999597461236629)×R²
    abs(0.13268934-0.13192235)×2.14579963779826e-05×R²
    0.000766989999999995×2.14579963779826e-05×6371000²
    0.000766989999999995×2.14579963779826e-05×40589641000000     		ar = 23859126.384901m²