Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4268 / 4104
↖ ↑ ↗
← S  0.351560°
E  7.558594°		 ← 4 886.40 m → S  0.351560°
E  7.602539°		 →
↑
4 886.43 m
↓
↑
4 886.43 m
↓
S  0.395505°
E  7.558594°		 ← 4 886.38 m →
23 876 997 m²		 S  0.395505°
E  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52105712890625 y=0.50103759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52105712890625 × 213)
    floor (0.52105712890625 × 8192)
    floor (4268.5)     		tx = 4268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50103759765625 × 213)
    floor (0.50103759765625 × 8192)
    floor (4104.5)     		ty = 4104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4268 / 4104 ti = "13/4268/4104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4268/4104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4268 ÷ 213
    4268 ÷ 8192     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4104 ÷ 213
    4104 ÷ 8192     		y = 0.5009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00613592315136719))-π/2
    2×atan(0.993882863181622)-π/2
    2×0.782330221072814-π/2
    1.56466044214563-1.57079632675     		φ = -0.00613588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00613588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.351560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4268 KachelY 4104 0.13192235 -0.00613588 7.558594 -0.351560
    Oben rechts KachelX + 1 4269 KachelY 4104 0.13268934 -0.00613588 7.602539 -0.351560
    Unten links KachelX 4268 KachelY + 1 4105 0.13192235 -0.00690286 7.558594 -0.395505
    Unten rechts KachelX + 1 4269 KachelY + 1 4105 0.13268934 -0.00690286 7.602539 -0.395505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00613588--0.00690286) × R
    0.00076698 × 6371000     		dl = 4886.42958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00613588--0.00690286) × R
    0.00076698 × 6371000     		dr = 4886.42958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13268934) × cos(-0.00613588) × R
    0.000766989999999995 × 0.999981175547373 × 6371000     		do = 4886.40130443852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13268934) × cos(-0.00690286) × R
    0.000766989999999995 × 0.999976175356513 × 6371000     		du = 4886.37687103943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00613588)-sin(-0.00690286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981175547373-0.999976175356513)×R²
    abs(0.13268934-0.13192235)×5.00019086002723e-06×R²
    0.000766989999999995×5.00019086002723e-06×6371000²
    0.000766989999999995×5.00019086002723e-06×40589641000000     		ar = 23876997.3482039m²