Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4265 / 4089
↖ ↑ ↗
← N  0.307616°
E  7.426758°		 ← 4 886.42 m → N  0.307616°
E  7.470703°		 →
↑
4 886.43 m
↓
↑
4 886.43 m
↓
N  0.263671°
E  7.426758°		 ← 4 886.44 m →
23 877 208 m²		 N  0.263671°
E  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52069091796875 y=0.49920654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52069091796875 × 213)
    floor (0.52069091796875 × 8192)
    floor (4265.5)     		tx = 4265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49920654296875 × 213)
    floor (0.49920654296875 × 8192)
    floor (4089.5)     		ty = 4089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4265 / 4089 ti = "13/4265/4089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4265/4089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4265 ÷ 213
    4265 ÷ 8192     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4089 ÷ 213
    4089 ÷ 8192     		y = 0.4991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    0.001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00536893275744629))-π/2
    2×atan(1.00538337130522)-π/2
    2×0.788082616879444-π/2
    1.57616523375889-1.57079632675     		φ = 0.00536891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00536891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.307616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4265 KachelY 4089 0.12962138 0.00536891 7.426758 0.307616
    Oben rechts KachelX + 1 4266 KachelY 4089 0.13038837 0.00536891 7.470703 0.307616
    Unten links KachelX 4265 KachelY + 1 4090 0.12962138 0.00460193 7.426758 0.263671
    Unten rechts KachelX + 1 4266 KachelY + 1 4090 0.13038837 0.00460193 7.470703 0.263671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00536891-0.00460193) × R
    0.00076698 × 6371000     		dl = 4886.42958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00536891-0.00460193) × R
    0.00076698 × 6371000     		dr = 4886.42958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.13038837) × cos(0.00536891) × R
    0.000766989999999995 × 0.999985587437326 × 6371000     		do = 4886.42286310917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.13038837) × cos(0.00460193) × R
    0.000766989999999995 × 0.999989411138825 × 6371000     		du = 4886.44154760089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00536891)-sin(0.00460193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999985587437326-0.999989411138825)×R²
    abs(0.13038837-0.12962138)×3.82370149842881e-06×R²
    0.000766989999999995×3.82370149842881e-06×6371000²
    0.000766989999999995×3.82370149842881e-06×40589641000000     		ar = 23877208.0394087m²