Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4262 / 4086
↖ ↑ ↗
← N  0.439449°
E  7.294922°		 ← 4 886.35 m → N  0.439449°
E  7.338867°		 →
↑
4 886.37 m
↓
↑
4 886.37 m
↓
N  0.395505°
E  7.294922°		 ← 4 886.38 m →
23 876 560 m²		 N  0.395505°
E  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52032470703125 y=0.49884033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52032470703125 × 213)
    floor (0.52032470703125 × 8192)
    floor (4262.5)     		tx = 4262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49884033203125 × 213)
    floor (0.49884033203125 × 8192)
    floor (4086.5)     		ty = 4086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4262 / 4086 ti = "13/4262/4086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4262/4086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4262 ÷ 213
    4262 ÷ 8192     		x = 0.520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4086 ÷ 213
    4086 ÷ 8192     		y = 0.498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520263671875 × 2 - 1) × π
    0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    0.00244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12732041} λ = 0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00766990393920898))-π/2
    2×atan(1.00769939299696)-π/2
    2×0.789233077767547-π/2
    1.57846615553509-1.57079632675     		φ = 0.00766983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00766983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.439449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4262 KachelY 4086 0.12732041 0.00766983 7.294922 0.439449
    Oben rechts KachelX + 1 4263 KachelY 4086 0.12808740 0.00766983 7.338867 0.439449
    Unten links KachelX 4262 KachelY + 1 4087 0.12732041 0.00690286 7.294922 0.395505
    Unten rechts KachelX + 1 4263 KachelY + 1 4087 0.12808740 0.00690286 7.338867 0.395505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00766983-0.00690286) × R
    0.00076697 × 6371000     		dl = 4886.36587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00766983-0.00690286) × R
    0.00076697 × 6371000     		dr = 4886.36587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12732041-0.12808740) × cos(0.00766983) × R
    0.000766989999999995 × 0.999970586998074 × 6371000     		do = 4886.34956356342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12732041-0.12808740) × cos(0.00690286) × R
    0.000766989999999995 × 0.999976175356513 × 6371000     		du = 4886.37687103943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00766983)-sin(0.00690286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999970586998074-0.999976175356513)×R²
    abs(0.12808740-0.12732041)×5.58835843889049e-06×R²
    0.000766989999999995×5.58835843889049e-06×6371000²
    0.000766989999999995×5.58835843889049e-06×40589641000000     		ar = 23876559.62388m²