Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4261 / 4103
↖ ↑ ↗
← S  0.307616°
E  7.250976°		 ← 4 886.49 m → S  0.307616°
E  7.294922°		 →
↑
4 886.37 m
↓
↑
4 886.37 m
↓
S  0.351560°
E  7.250976°		 ← 4 886.47 m →
23 877 110 m²		 S  0.351560°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52020263671875 y=0.50091552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52020263671875 × 213)
    floor (0.52020263671875 × 8192)
    floor (4261.5)     		tx = 4261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50091552734375 × 213)
    floor (0.50091552734375 × 8192)
    floor (4103.5)     		ty = 4103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4261 / 4103 ti = "13/4261/4103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4261/4103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4261 ÷ 213
    4261 ÷ 8192     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4103 ÷ 213
    4103 ÷ 8192     		y = 0.5008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00536893275744629))-π/2
    2×atan(0.994645454202974)-π/2
    2×0.782713709915453-π/2
    1.56542741983091-1.57079632675     		φ = -0.00536891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00536891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.307616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4261 KachelY 4103 0.12655341 -0.00536891 7.250976 -0.307616
    Oben rechts KachelX + 1 4262 KachelY 4103 0.12732041 -0.00536891 7.294922 -0.307616
    Unten links KachelX 4261 KachelY + 1 4104 0.12655341 -0.00613588 7.250976 -0.351560
    Unten rechts KachelX + 1 4262 KachelY + 1 4104 0.12732041 -0.00613588 7.294922 -0.351560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00536891--0.00613588) × R
    0.00076697 × 6371000     		dl = 4886.36587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00536891--0.00613588) × R
    0.00076697 × 6371000     		dr = 4886.36587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12732041) × cos(-0.00536891) × R
    0.00076699999999999 × 0.999985587437326 × 6371000     		do = 4886.48657219092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12732041) × cos(-0.00613588) × R
    0.00076699999999999 × 0.999981175547373 × 6371000     		du = 4886.46501323918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00536891)-sin(-0.00613588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999985587437326-0.999981175547373)×R²
    abs(0.12732041-0.12655341)×4.41188995337072e-06×R²
    0.00076699999999999×4.41188995337072e-06×6371000²
    0.00076699999999999×4.41188995337072e-06×40589641000000     		ar = 23877109.7085658m²