Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4261 / 4083
↖ ↑ ↗
← N  0.571280°
E  7.250976°		 ← 4 886.31 m → N  0.571280°
E  7.294922°		 →
↑
4 886.30 m
↓
↑
4 886.30 m
↓
N  0.527336°
E  7.250976°		 ← 4 886.35 m →
23 876 096 m²		 N  0.527336°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52020263671875 y=0.49847412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52020263671875 × 213)
    floor (0.52020263671875 × 8192)
    floor (4261.5)     		tx = 4261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49847412109375 × 213)
    floor (0.49847412109375 × 8192)
    floor (4083.5)     		ty = 4083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4261 / 4083 ti = "13/4261/4083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4261/4083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4261 ÷ 213
    4261 ÷ 8192     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4083 ÷ 213
    4083 ÷ 8192     		y = 0.4984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4984130859375 × 2 - 1) × π
    0.003173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00997087512097168))-π/2
    2×atan(1.01002074992363)-π/2
    2×0.790383518352657-π/2
    1.58076703670531-1.57079632675     		φ = 0.00997071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00997071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.571280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4261 KachelY 4083 0.12655341 0.00997071 7.250976 0.571280
    Oben rechts KachelX + 1 4262 KachelY 4083 0.12732041 0.00997071 7.294922 0.571280
    Unten links KachelX 4261 KachelY + 1 4084 0.12655341 0.00920375 7.250976 0.527336
    Unten rechts KachelX + 1 4262 KachelY + 1 4084 0.12732041 0.00920375 7.294922 0.527336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00997071-0.00920375) × R
    0.000766960000000001 × 6371000     		dl = 4886.30216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00997071-0.00920375) × R
    0.000766960000000001 × 6371000     		dr = 4886.30216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12732041) × cos(0.00997071) × R
    0.00076699999999999 × 0.999950292882853 × 6371000     		do = 4886.31410333869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12732041) × cos(0.00920375) × R
    0.00076699999999999 × 0.999957645791952 × 6371000     		du = 4886.35003374812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00997071)-sin(0.00920375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999950292882853-0.999957645791952)×R²
    abs(0.12732041-0.12655341)×7.35290909892328e-06×R²
    0.00076699999999999×7.35290909892328e-06×6371000²
    0.00076699999999999×7.35290909892328e-06×40589641000000     		ar = 23876096.1113826m²