Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 426 / 506
↖ ↑ ↗
← S 84.673512°
E119.531250°		 ← 7 257.89 m → S 84.673512°
E120.234375°		 →
↑
7 213.76 m
↓
↑
7 213.76 m
↓
S 84.738387°
E119.531250°		 ← 7 169.74 m →
52 038 689 m²		 S 84.738387°
E120.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8330078125 y=0.9892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8330078125 × 29)
    floor (0.8330078125 × 512)
    floor (426.5)     		tx = 426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9892578125 × 29)
    floor (0.9892578125 × 512)
    floor (506.5)     		ty = 506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 426 / 506 ti = "9/426/506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/426/506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 426 ÷ 29
    426 ÷ 512     		x = 0.83203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 506 ÷ 29
    506 ÷ 512     		y = 0.98828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83203125 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08621387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98828125 × 2 - 1) × π
    -0.9765625 × 3.1415926535     		Φ = -3.06796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08621387} λ = 2.08621387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.06796157568359))-π/2
    2×atan(0.0465158773778337)-π/2
    2×0.0464823716478539-π/2
    0.0929647432957078-1.57079632675     		φ = -1.47783158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08621387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47783158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.673512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 426 KachelY 506 2.08621387 -1.47783158 119.531250 -84.673512
    Oben rechts KachelX + 1 427 KachelY 506 2.09848572 -1.47783158 120.234375 -84.673512
    Unten links KachelX 426 KachelY + 1 507 2.08621387 -1.47896386 119.531250 -84.738387
    Unten rechts KachelX + 1 427 KachelY + 1 507 2.09848572 -1.47896386 120.234375 -84.738387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47783158--1.47896386) × R
    0.00113227999999999 × 6371000     		dl = 7213.75587999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47783158--1.47896386) × R
    0.00113227999999999 × 6371000     		dr = 7213.75587999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08621387-2.09848572) × cos(-1.47783158) × R
    0.0122718500000003 × 0.0928308975419283 × 6371000     		do = 7257.88684134962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08621387-2.09848572) × cos(-1.47896386) × R
    0.0122718500000003 × 0.0917034475860416 × 6371000     		du = 7169.73834321177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47783158)-sin(-1.47896386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0928308975419283-0.0917034475860416)×R²
    abs(2.09848572-2.08621387)×0.00112744995588668×R²
    0.0122718500000003×0.00112744995588668×6371000²
    0.0122718500000003×0.00112744995588668×40589641000000     		ar = 52038688.5645163m²