Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4259 / 4085
↖ ↑ ↗
← N  0.483392°
E  7.163086°		 ← 4 886.32 m → N  0.483392°
E  7.207031°		 →
↑
4 886.30 m
↓
↑
4 886.30 m
↓
N  0.439449°
E  7.163086°		 ← 4 886.35 m →
23 876 108 m²		 N  0.439449°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51995849609375 y=0.49871826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51995849609375 × 213)
    floor (0.51995849609375 × 8192)
    floor (4259.5)     		tx = 4259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49871826171875 × 213)
    floor (0.49871826171875 × 8192)
    floor (4085.5)     		ty = 4085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4259 / 4085 ti = "13/4259/4085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4259/4085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4259 ÷ 213
    4259 ÷ 8192     		x = 0.5198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4085 ÷ 213
    4085 ÷ 8192     		y = 0.4986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5198974609375 × 2 - 1) × π
    0.039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12501943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    0.002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12501943} λ = 0.12501943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00843689433312988))-π/2
    2×atan(1.00847258522895)-π/2
    2×0.789616560519225-π/2
    1.57923312103845-1.57079632675     		φ = 0.00843679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12501943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00843679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.483392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4259 KachelY 4085 0.12501943 0.00843679 7.163086 0.483392
    Oben rechts KachelX + 1 4260 KachelY 4085 0.12578642 0.00843679 7.207031 0.483392
    Unten links KachelX 4259 KachelY + 1 4086 0.12501943 0.00766983 7.163086 0.439449
    Unten rechts KachelX + 1 4260 KachelY + 1 4086 0.12578642 0.00766983 7.207031 0.439449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00843679-0.00766983) × R
    0.00076696 × 6371000     		dl = 4886.30216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00843679-0.00766983) × R
    0.00076696 × 6371000     		dr = 4886.30216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12501943-0.12578642) × cos(0.00843679) × R
    0.000766990000000023 × 0.999964410498352 × 6371000     		do = 4886.31938213915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12501943-0.12578642) × cos(0.00766983) × R
    0.000766990000000023 × 0.999970586998074 × 6371000     		du = 4886.3495635636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00843679)-sin(0.00766983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999964410498352-0.999970586998074)×R²
    abs(0.12578642-0.12501943)×6.17649972212142e-06×R²
    0.000766990000000023×6.17649972212142e-06×6371000²
    0.000766990000000023×6.17649972212142e-06×40589641000000     		ar = 23876107.8595583m²