Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4252 / 4076
↖ ↑ ↗
← N  0.878872°
E  6.855469°		 ← 4 885.92 m → N  0.878872°
E  6.899414°		 →
↑
4 885.98 m
↓
↑
4 885.98 m
↓
N  0.834931°
E  6.855469°		 ← 4 885.97 m →
23 872 655 m²		 N  0.834931°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51910400390625 y=0.49761962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51910400390625 × 213)
    floor (0.51910400390625 × 8192)
    floor (4252.5)     		tx = 4252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49761962890625 × 213)
    floor (0.49761962890625 × 8192)
    floor (4076.5)     		ty = 4076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4252 / 4076 ti = "13/4252/4076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4252/4076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4252 ÷ 213
    4252 ÷ 8192     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4076 ÷ 213
    4076 ÷ 8192     		y = 0.49755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.015339807878418))-π/2
    2×atan(1.01545806664644)-π/2
    2×0.793067766553878-π/2
    1.58613553310776-1.57079632675     		φ = 0.01533921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01533921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.878872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4252 KachelY 4076 0.11965050 0.01533921 6.855469 0.878872
    Oben rechts KachelX + 1 4253 KachelY 4076 0.12041749 0.01533921 6.899414 0.878872
    Unten links KachelX 4252 KachelY + 1 4077 0.11965050 0.01457230 6.855469 0.834931
    Unten rechts KachelX + 1 4253 KachelY + 1 4077 0.12041749 0.01457230 6.899414 0.834931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01533921-0.01457230) × R
    0.000766910000000001 × 6371000     		dl = 4885.98361000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01533921-0.01457230) × R
    0.000766910000000001 × 6371000     		dr = 4885.98361000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12041749) × cos(0.01533921) × R
    0.000766989999999995 × 0.999882356625021 × 6371000     		do = 4885.91842643752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12041749) × cos(0.01457230) × R
    0.000766989999999995 × 0.999893825915231 × 6371000     		du = 4885.97447104717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01533921)-sin(0.01457230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999882356625021-0.999893825915231)×R²
    abs(0.12041749-0.11965050)×1.14692902100089e-05×R²
    0.000766989999999995×1.14692902100089e-05×6371000²
    0.000766989999999995×1.14692902100089e-05×40589641000000     		ar = 23872655.4379533m²