Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4251 / 4075
↖ ↑ ↗
← N  0.922812°
E  6.811523°		 ← 4 885.86 m → N  0.922812°
E  6.855469°		 →
↑
4 885.86 m
↓
↑
4 885.86 m
↓
N  0.878872°
E  6.811523°		 ← 4 885.92 m →
23 871 752 m²		 N  0.878872°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51898193359375 y=0.49749755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51898193359375 × 213)
    floor (0.51898193359375 × 8192)
    floor (4251.5)     		tx = 4251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49749755859375 × 213)
    floor (0.49749755859375 × 8192)
    floor (4075.5)     		ty = 4075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4251 / 4075 ti = "13/4251/4075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4251/4075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4251 ÷ 213
    4251 ÷ 8192     		x = 0.5189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4075 ÷ 213
    4075 ÷ 8192     		y = 0.4974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4974365234375 × 2 - 1) × π
    0.005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0161067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11888351} λ = 0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0161067982723389))-π/2
    2×atan(1.01623721198929)-π/2
    2×0.793451214342053-π/2
    1.58690242868411-1.57079632675     		φ = 0.01610610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01610610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.922812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4251 KachelY 4075 0.11888351 0.01610610 6.811523 0.922812
    Oben rechts KachelX + 1 4252 KachelY 4075 0.11965050 0.01610610 6.855469 0.922812
    Unten links KachelX 4251 KachelY + 1 4076 0.11888351 0.01533921 6.811523 0.878872
    Unten rechts KachelX + 1 4252 KachelY + 1 4076 0.11965050 0.01533921 6.855469 0.878872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01610610-0.01533921) × R
    0.000766890000000001 × 6371000     		dl = 4885.85619000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01610610-0.01533921) × R
    0.000766890000000001 × 6371000     		dr = 4885.85619000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11888351-0.11965050) × cos(0.01610610) × R
    0.000766990000000009 × 0.999870299575192 × 6371000     		do = 4885.85950974452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11888351-0.11965050) × cos(0.01533921) × R
    0.000766990000000009 × 0.999882356625021 × 6371000     		du = 4885.91842643761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01610610)-sin(0.01533921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999870299575192-0.999882356625021)×R²
    abs(0.11965050-0.11888351)×1.2057049828873e-05×R²
    0.000766990000000009×1.2057049828873e-05×6371000²
    0.000766990000000009×1.2057049828873e-05×40589641000000     		ar = 23871752.0283556m²